任意の $g\in f^{\ast}(S)$ と $g\circ h$ が定義される $h$ について $f\circ (g\circ h) = (f\circ g)\circ h$ である。この時 $f^{\ast}(S)$の定義より $f\circ g\in S$ であるので $S$ が篩である事より $f\circ (g\circ h)\in S$ である。よって $g\circ h\in f^{\ast}(S)$ であるので $f^{\ast}(S)$ も篩である。 $\square$

$R,S$ が篩の時 $R\cap S$ も篩であるのは明らか。 $S\in J(c)$ であるので、任意の $(f:d\rightarrow c)\in S$ に対して、 $f^{\ast}(R\cap S)\in J(d)$ である事を示せば推移性公理より $R\cap S\in J(c)$ となる。

$(f:d\rightarrow c)\in S$ とする。すると $R\in J(c)$ であるので安定性公理より $f^{\ast}(R)\in J(d)$ である。 ここで $f\in S$ であることから $f^{\ast}(S)=M_d$ である事が簡単に分かるので、

$$f^{\ast}(R\cap S) = f^{\ast}(R)\cap f^{\ast}(S) = f^{\ast}(R)\cap M_d = f^{\ast}(R) \in J(d)$$

である。 $\square$

($\Rightarrow$)

$J$ が3つの公理を満たすとする。

1. 最大性公理そのものである。

2. $c$ 上の篩 $S,T$ について $T\in J(c)$ かつ $T\subseteq S$ であるとする。 任意の $(f:d\rightarrow c) \in T$ について、 $T\subseteq S$ より $f=f\circ 1_d\in S$ であるから $1_d \in f^{\ast}(S)$。すなわち、最大性公理より $f^{\ast}(S)=M_d \in J(d)$ であるので、推移性公理より $S\in J(c)$ である。

3. $R\in J(c)$ であるとする。任意の $f:d\rightarrow c$ について、安定性公理より $f^{\ast}(R)\in J(d)$ であり、$f^{\ast}(R)$ の定義より、任意の $g\in f^{\ast}(R)$ について $f\circ g\in R$ である。

4. $S\in J(c)$ をpresieve $\{f_i:c_i\rightarrow c\}_{i \in I}$ から生成された篩、 $T_i\in J(c_i)$ をpresieve $\{g_{ij}: d_{ij}\rightarrow c_i\}_{j\in I_i}$ から生成された篩、 $R$ を presieve $\{f_i\circ g_{ij}: d_{ij}\rightarrow c\}_{i\in I, j\in I_i}$ から生成された篩とする。 任意の $(f:d\rightarrow c)\in S$ に対して $f^{\ast}(R)\in J(d)$ である事を示せば、推移性公理より $R\in J(c)$ となる。

   ここで、 適当な $i\in I$ に対して $f=f_i\circ h$ と書くことができて、引き戻しの性質より $$f^{\ast}(R) = (f_i\circ h)^{\ast}(R) = h^{\ast}(f_i^{\ast}(R))$$ である。ここで任意の $k\in T_i$ について、ある $j$ が存在して $k = g_{ij}\circ u$ と書けるから、 $f_i\circ k = (f_i\circ g_{ij})\circ u \in R$ である。 従って $k\in f_i^{\ast}(R)$ であるから $T_i\subseteq f_i^{\ast}(R)$ である。

   よって、 $T_i\in J(c_i)$ かつ $T_i\subseteq f_i^{\ast}(R)$ より $f_i^{\ast}(R)\in J(c_i)$ である。 従って、安定性公理より $h^{\ast}(f_i^{\ast}(R)) = f^{\ast}(R) \in J(d)$ である。

($\Leftarrow$)

$J$ が1.2.3.4.の条件を満たすとする。

• (最大性公理): 条件1.そのものである。
• (安定性公理): $S\in J(c)$ であるとすると、任意の$f:d\rightarrow c$ に対して条件3.よりある $R\in J(d)$ が存在して、すべての$g\in R$ に対して $f\circ g\in S$ である。すなわち $g\in f^{\ast}(S)$ であるから $R\subseteq f^{\ast}(S)$ である。よって条件2.より $f^{\ast}(S)\in J(d)$。
• (推移性公理): $c$ 上の篩 $S=\{f_i: c_i\rightarrow c\}_{i\in I}$ について、 $S\in J(c)$ であり、 $c$ 上の篩 $R$ が任意の $f_i \in S$ に対して $f_{i}^{\ast}(R)\in J(c_i)$ を満たすとする。ここで、 $T_i = f_{i}^{\ast}(R)$ とおき、その元を $T_i = \{g_{ij}: d_{ij}\rightarrow c_i\}_{j \in I_i}$ と書くと条件4.より合成篩 $S*\{T_i\}_{i\in I} = \{f_i\circ g_{ij}: d_{ij}\rightarrow c\}_{i\in I, j\in I_i}$ は $J(c)$ の元である。ここで $g_{ij}\in f_{i}^{\ast}(R)$ より $f_{i}\circ g_{ij}\in R$ であるので、 $S*\{T_i\}_{i\in I}\subseteq R$ である。従って条件2.より $R\in J(c)$ である。

$\square$

引き戻しを持つとは限らない圏 $\mathcal{C}$ について示す。 $K$ が $\mathcal{C}$ 上のGrothendieck前位相であるとし、 $J$ を $ R\in J(c) \Leftarrow \exists S\in K(c), S\subseteq R$ で定める。

(最大性公理)

$1_c \in K(c)$ より成立。

(安定性公理)

$S\in J(c)$ であるとする。すると $T\subseteq S$ なる $T\in K(c)$ が存在する。 ここで$T=\{f_i:c_i\rightarrow c\}$ とすると、 任意の $g:d\rightarrow c$ に対して $U=\{h_j: d_j\rightarrow d\} \in K(d)$ が存在して、任意の $j\in J$ について $g\circ h_j = f_i\circ k$ と分解できる。 よって $f_i\in T\subseteq S$ より $fg\circ h_j = f_i\circ k \in S$ であるから $h_j\in g^{\ast}(S)$ である。 従って $U\subseteq g^{\ast}(S)$ であり、これと $U\in K(d)$ より $g^{\ast}(S)\in J(d)$ である。

(推移性公理)

$S\in J(c)$ であり、 $c$ 上の篩 $R$ が任意の $(f:d\rightarrow c)\in S$ に対して $f^{\ast}(R)\in J(d)$ を満たすとする。 すなわち、 $S=\{f_i:c_i\rightarrow c\}$ とすると、 presieve $T\in K(c)\ {\rm s.t.}\ T\subseteq S$ が存在し任意の $i\in I$ に対して、presieve $U_i\in K(c_i)$ が存在して $U_i\subseteq f_i^{\ast}(R)$ であるとする。 ここで $U_i=\{g_{ij}:d_{ij}\rightarrow c_i\}$ とすると $V=\{f_i\circ g_{ij}: d_{ij}\rightarrow c\} \in K(c)$ である。 ここで $g_{ij}\in U_i \subseteq f_i^{\ast}(R)$ より $f_i\circ g_{ij} \in R$ であるから $V\subseteq R$ である。 すなわち、 $V\in K(c), V\subseteq R$ より $R\in J(c)$ である。

$\square$

$D$ を小圏 $\mathcal{C}$ 上のカバレッジとする。

(最大性公理)

$f:d\rightarrow c$ と $D$ に関して閉じている $d$ 上の篩 $T$ について、 $f^{\ast}(M_c)\subseteq T$ であるとすると、$f\circ 1_d \in M_c$ より $1_d \in f^{\ast}(M_c)\subseteq T$ である。 従って、 $T=M_d$ となり条件を満たすので $M_c \in G_D(c)$ である。

(安定性公理)

$S\in G_D(c), f:d\rightarrow c$ とする。

$g:e\rightarrow d$ と $D$ に関して閉じている $e$ 上の篩 $T$ について、 $g^{\ast}(f^{\ast}(S))\subseteq T$ であるとする。 すると $g^{\ast}(f^{\ast}(S)) = (f\circ g)^{\ast}(S)\subseteq T$ であるので $S$ の満たす条件より $T=M_e$ である。従って $f^{\ast}(S)$ も $G_D$ の条件を満たすので $f^{\ast}(S)\in G_D(d)$である。

(推移性公理)

$S\in G_D(c)$ であり、$c$上の篩 $R$ が任意の $(f:d\rightarrow c)\in S$ に対して $f^{\ast}(R) \in G_D(d)$を満たすとする。

ここで $g:e\rightarrow c$ と $D$ について閉じている $e$ 上の篩 $T$ について、$g^{\ast}(R)\subseteq T$ とする。$T=M_e$ を示すことが目標である。 その為に $T$ を細分化した篩を考え、それらを貼り合わせるという方針で証明を行う。

射 $(h:x\rightarrow e) \in g^{\ast}(S)$ で $T$ を制限した $x$ 上の篩 $h^{\ast}(T)$ を考える。 任意の $(k:y\rightarrow x)$ と $Z\in D(y)$ に対して $Z\subseteq k^{\ast}(h^{\ast}(T)) = (h\circ k)^{\ast}(T)$ とすると $T$ が $D$ について閉じていることより $h\circ k\in T$ すなわち $k\in h^{\ast}(T)$ である。従って $h^{\ast}(T)$ も $D$ について閉じている。

そして $g^{\ast}(R)\subseteq T$ であるので $h^{\ast}(g^{\ast}(R)) = (g\circ h)^{\ast}(R) \subseteq h^{\ast}(T)$ である。 ここで $h\in g^{\ast}(S)$ より $g\circ h\in S$ であるから、仮定より $(g\circ h)^{\ast}(R)\in G_D(x)$ である。 そして、仮定より $g^{\ast}(R)\subseteq T$ であるので、両辺を $h$ で引き戻して $h^{\ast}(g^{\ast}(R))\subseteq h^{\ast}(T)$ すなわち、 $ 1_x^{\ast}((g\circ h)^{\ast}(R)) \subseteq h^{\ast}(T) $である。以上より、 $h^{\ast}(T)$ が $D$ について閉じており、 $(g\circ h)^{\ast}(R)\in G_D(x)$ かつ$ 1_x^{\ast}((g\circ h)^{\ast}(R)) \subseteq h^{\ast}(T) $であるから $h^{\ast}(T) = M_x$ である。

ここで $h^{\ast}(T)=M_x \Leftrightarrow 1_x \in h^{\ast}(T) \Leftrightarrow h \in T$ である。すなわち、任意の $h\in g^{\ast}(S)$ に対して $h\in T$ であるから $g^{\ast}(S)\subseteq T$ である。従って、$T$ が $D$ について閉じており、 $S\in G_D(c)$ かつ $g^{\ast}(S)\subseteq T$ であることから $T=M_e$ である。

$\square$

$S\in D(c)$ であるとする。 $f:d\rightarrow c$ と $D$ について閉じている $d$ 上の篩 $T$ について $f^{\ast}(S)\subseteq T$ であるとする。 $D$ がカバレッジであることより $f^{\ast}(S)\in D(d)$ である。ここで $T$ は $D$ について閉じているので $f^{\ast}(S)\in D(d)$ と $1_d^{\ast}(f^{\ast}(S))\subseteq 1_d^{\ast}(T)$ より $1_d\in T$ である。従って $T=M_d$ であるから $S\in G_D(c)$ である。 $\square$

$J$ を $D$ を含むGrothendieck位相とする。$S\in G_D(c)$ とする。示すべきことは $S\in J(c)$ である。

ここで $$ T=\{f:d\rightarrow c \mid f^{\ast}(S)\in J(d)\}$$ と置く。$1_c\in T$ である事を示せば $1_c^{\ast}(S)=S\in J(d)$ が示されるので、$T=M_c$ である事を示せば良い。

($T$ が篩である事)

$(f:d\rightarrow c)\in T$ と任意の $g:e\rightarrow d$ について安定性公理より $(f\circ g)^{\ast}(S) = g^{\ast}(f^{\ast}(S)) \in J(e)$ であるから $f\circ g \in T$。従って $T$ は $c$ 上の篩である。

($T$ が $D$ について閉じている事)

$g:e\rightarrow d$ と $Z\subseteq D(e)$ に対して $Z\subseteq g^{\ast}(T)$ であるとする。 任意の $(h:x\rightarrow e)\in Z$ に対して $h\in g^{\ast}(T)\Leftrightarrow g\circ h\in T\Leftrightarrow (g\circ h)^{\ast}(S)=h^{\ast}(g^{\ast}(S))\in J(d)$ である。従って推移性公理より $g^{\ast}(S) \in J(e)$ である。従って $T$ の定義より $g\in T$ である。 よって $T$ は $D$ について閉じている。

($1_c^{\ast}(S)\subseteq T$である事)

$(f:d\rightarrow c)\in S$ とすると、 $S$ が篩であることより $f^{\ast}(S)=M_d$ である。よって最大性公理より $f^{\ast}(S)\in J(d)$ であるから $f\in T$。 すなわち $S\subseteq T$ である。

以上より、$G_D$ の性質から $T=M_c$ である。 $\square$

小圏 $\mathcal{C}$ が右Ore条件を満たすとする。$S$ を $c$ 上の篩とする。

$\forall f:d\rightarrow c, f^{\ast}(S)\neq\emptyset$ すなわち、 $\forall f:d\rightarrow c, \exists g:e\rightarrow d,\ \mathrm{s.t.}\ f\circ g\in S$ であるとする。すると $1_c\circ g\in S$ を満たす $S$ の元が存在するから $S\neq\emptyset$ である。 逆に $S\neq\emptyset$ であるとする。すると、任意の $f:d\rightarrow c$ に対して、射 $g:e\rightarrow c\in S$ を任意に取ると、右Ore条件より $f\circ a = g\circ b$ を満たす$a,b$ が存在する。ここで $S$ は篩で $g\in S$ であるから $g\circ b\in S$。よって $f\circ a\in S$ であるから $\forall f:d\rightarrow c, \exists g:e\rightarrow d,\ \mathrm{s.t.}\ f\circ g\in S$ が成り立つ。 $\square$

(最大性公理)

$M_c \in J_{\mathcal{A}}(c)$ は明らか。

(安定性公理)

$S \in J_{\mathcal{A}}(c)$ と $f:d\rightarrow c$ について $f^{\ast}(S) \in J_{\mathcal{A}}(d)$ を示す。

任意の $g\in\mathcal{A},\mathrm{cod}(g)=d$ に対して $\mathcal{A}$ は左合成について閉じているので $f\circ g \in \mathcal{A}$。 従って、 $f\circ g\in\mathcal{A}, \mathrm{cod}(f\circ g)=c$ より $f\circ g\in S$。従って $g\in f^{\ast}(S)$ であるから $f^{\ast}(S)\in J_{\mathcal{A}}(d)$ である。

(推移性公理)

$S \in J_{\mathcal{A}}(c)$であり $c$ 上の篩 $R$ が任意の $(f:d\rightarrow c)\in S$ に対して $f^{\ast}(R)\in J_{\mathcal{A}}(d)$ であるとする。 この時 $R\in J_{\mathcal{A}}(c)$ すなわち、 任意の $g\in\mathcal{A},\mathrm{cod}(g)=c$ に対して $g\in R$ である事を示せば良い。

ここで $\mathrm{A}$ が補完的であることより $g = h\circ k\ (h,k\in\mathcal{A}, h:d\rightarrow c, k: e\rightarrow d)$ と分解できる。 すると $h\in\mathcal{A},\mathrm{cod}(h)=c$ より $h\in S$ となる。従って仮定より $h^{\ast}(R)\in J_{\mathrm{A}}(d)$ である。 よって $k\in\mathcal{A},\mathrm{cod}(k)=d$ より $k \in h^{\ast}(R)$ すなわち $g=h\circ k\in R$ となる。

$\square$

($\Rightarrow$)

$\mathcal{C}$ 上のGrothendieck位相 $J$ が任意の対象 $c$ について最小の被覆篩を持つとする。ここで $$\mathcal{A} = \bigcup_{c\in\mathcal{C}} \min J(c)$$ と置くと $J_{\mathcal{A}}=J$ である事を示す。

まず $\mathcal{A}$ が左合成について閉じていることを示す。 $(f:a\rightarrow b)\in\mathcal{A}$ 、 $g:b\rightarrow c$ とする。安定性定理より $g^{\ast}(\min J(c)) \in J(b)$ であるので $\min J(b)\subset g^{\ast}(\min J(c))$ 。 ここで $f\in\min J(b)$ であるから $f\in g^{\ast}(\min J(c))$ すなわち $g\circ f\in \min J(c)\subset\mathcal{A}$。 従って $\mathcal{A}$ は左合成について閉じている。

続いて $\mathcal{A}$ が補完的である事を示す。すなわち任意の$(f:d\rightarrow c)\in\mathcal{A}$ が $f=f_1\circ f_2$ と分解できることを示す。 ここで $$ R=\{h \mid \exists g\in\min J(c), k\in\min J(\mathrm{dom}(g)), h=g\circ k\} $$ とおく。これは、 $\mathcal{A}$ の射で分解できる $\mathrm{cod}(h)=c$ である $h$ の集合である。 $\min J(\mathrm{dom}(g))$ が前合成について閉じていることより、 $R$ も前合成について閉じているから $R$ は $c$ 上の篩である。

ここで $g\in\min J(c)$ で $R$ を引き戻すと、 $R$ の定義より $$ \min J(\mathrm{dom}(g)) \subset g^{\ast}(R)$$ であるので、 単調性公理より $g^{\ast}(R)\in J(\mathrm{dom}(g))$ である。 従って、推移性公理より $R \in J(c)$ である。従って $f \in \min J(c)\subseteq R$ であるから $R$ の定義より $f$ は $\mathrm{A}$ の射で分解可能である。

最後に $J=J_{\mathcal{A}}$ である事を示す。任意の対象 $c$ に対して $$\begin{align*} S\in J_{\mathcal{A}}(c) &\Leftrightarrow (\forall f\in\mathcal{A},\mathrm{cod}(f)=c \Rightarrow f\in S) \\ &\Leftrightarrow (\forall f \in \min J(c) \Rightarrow f\ in S) \\ &\Leftrightarrow \min J(c) \subseteq S \\ &\Leftrightarrow S\in J(c) \quad (\because\text{単調性公理}) \end{align*}$$ であるから $J=J_{\mathrm{A}}$ である。

($\Leftrightarrow$)

$\mathcal{C}$ 上のGrothendieck位相 $J_{\mathcal{A}}$ が任意の対象 $c$ について最小の被覆篩を持つことを示す。 すなわち、 ある $S \in J_{\mathcal{A}}(c)$ が存在して任意の $T\in J_{\mathcal{A}}(c)$ に対して $S\subseteq T$ である事を示す。

$\mathcal{A}$ の元のうち、コドメインが $c$ である射の集合を $\mathcal{A}_c$ とする。ここで $$ S = \{ f\circ g \mid f \in \mathcal{A}_c, \mathrm{dom}(f)=\mathrm{cod}(g) \}$$ と定めた時、これが最小の被覆篩である事を示す。

まず、 $S$ が篩であることは明らか。そして、任意の $f\in\mathcal{A}_c$ について $f = f\circ 1_{\mathrm{dom}(f)} \in S$ であるので $S \in J_{\mathcal{A}}(c)$ である。

続いて、$S$ が最小であることを示す。$T\in J_{\mathcal{A}}(c)$ とすると、定義より $\mathcal{A}_c \subseteq T$ 。 ここで $f\circ g\in S$ であるとすると $f\in \mathcal{A}_c\subseteq T$ であり、 $T$ が篩であることより $f\circ g\in T$ であるから $S\subseteq T$ である。

$\square$