普遍性 #

本節では圏論において非常に重要な概念である 普遍性(universal property) と関連する諸概念について説明する。普遍性を用いると、圏論の様々な概念を統一的な方法で構成する事ができる。前節で説明した極限も普遍性を用いた構成(普遍的構成(universal construction))の一つである。

普遍性の説明には複数の方法があるが、ここではエミリー・リール(Emily Riehl)による 表現可能関手(representable functor) を用いた説明を行う。

Hom関手 #

圏論の語彙では、対象や射が具体的に何であるか(例えばベクトル空間や線型写像であるといったこと)を特定し、その性質(例えばベクトル空間の公理)を用いて議論を行う事が基本的には出来ない。従って、圏論においてある対象 $a\in\mathcal{C}$ について調べる時には $a$に向かう射の集合 $\mathcal{C}(x, a)$や、 $a$ から出る射の集合 $\mathcal{C}(a, x)$ について調べる事が主要な手段となる。そこで Hom関手(hom-functor) という概念が登場する。

$\mathcal{C}$ を局所小圏とすると、任意の $a,x\in\mathcal{C}$ について $\mathcal{C}(a, x)$ は集合になる。 すなわち $\mathbf{Set}$ の対象になるので、$x\longmapsto \mathcal{C}(a, x)$ という $\mathcal{C}$ から $\mathbf{Set}$ への対象の対応を得ることができる。このとき、射 $f:x\rightarrow y$ に対応する$\mathbf{Set}$ の射 $\mathcal{C}(a, f): \mathcal{C}(a, x)\rightarrow\mathcal{C}(a, y)$ も定める事ができて、この対応は関手となる。

証明は共変Hom関手と同様なので省略。「共変」「反変」は誤解の恐れがない場合は省略する事が多い。

表現可能関手 #

Hom関手 $\mathcal{C}(a, -), \mathcal{C}(-, a)$ は、対象 $a$ 一つのみでその全てが表現される。この意味でHom関手 $\mathcal{C}(a, -), \mathcal{C}(-, a)$ 及びこれらと自然同型な関手は 表現可能(representable) であると言われ、 $a$ をそれを 表現する対象(representing object) という。

後に示すように表現可能関手 $F$ を表現する対象は同型を除いて一意であるので、表現可能性を用いて対象 $a$ を定義する事も可能である。

表現可能関手とはどのようなものか具体例を見てみよう。非常に簡単な例として、 $\mathcal{C}$ として自然数の集合 $\mathbb{N}$ をとる。これは離散圏であり、恒等射以外存在しないので 関手 $\mathbb{N}(-, n)$ は $\mathbb{N}(n, n) = \{1_n\}$ で、それ以外は空集合となる関手である。すなわち、単集合を $1$、空集合を $0$ とすれば表現可能関手 $\mathbb{N}(-, n)$ は $$ 0, 0, \ldots, 0, \overbrace{1}^{n\text{番目}}, 0,\ldots $$ という集合の列である。自然数 $n$ という情報のみでこれが定まるし、逆に $\mathbf{Set}$ 内で $n$ が表現されているというイメージも得られるだろう。 また $\mathbb{N}$ の対象が表現されているだけでなく、 $\mathbb{N}$ の射も表現されている。というのは自然変換 $\mathbb{N}(-, n)\rightarrow\mathbb{N}(-, n)$ は空関数 $0\rightarrow 0$ と単一の関数 $1\rightarrow 1$ で図式を 縦に繋いだ物のみであるからただ一つしか存在しない。そして $m\neq n$ の時、自然変換 $\mathbb{N}(-, m)\rightarrow\mathbb{N}(-, n)$ は存在しない。何故ならば、$1\rightarrow 0$ なる関数は存在しないからである。 これは $\mathbb{N}(n ,n)$ が単集合、 $\mathbb{N}(m, n)\quad (m\neq n)$ が空集合であるということと対応している。

続いて、同じ $\mathbb{N}$ だが、これを順序集合とした場合を考えよう。これは以下のような圏であり、各射は大小関係 $\leq$ である。 $$ 0 \rightarrow 1 \rightarrow\cdots\rightarrow n-1\rightarrow n\rightarrow n+1\rightarrow\cdots $$ すると、表現可能関手 $\mathbb{N}(-, n):\mathbb{N}^{\mathrm{op}}\rightarrow\mathbb{Set}$ は以下の図式となる。

$$ 1\leftarrow 1 \leftarrow\cdots\leftarrow 1\leftarrow\overbrace{1}^{n\text{番目}} \leftarrow 0 \leftarrow \cdots $$

すると、先ほどと同様にして $m\leq n$ ならば $\mathbb{N}(-, m)\rightarrow\mathbb{N}(-, n)$ がただ一つ存在し、そうでなければ存在しないという事がわかる。これは $\mathbb{N}(m, n)$ の要素数と一致する。

以上は非常にシンプルな例であるが、$a\in\mathcal{C}$ と表現可能関手 $\mathcal{C}(-, a)$ が、その周囲の射も含め綺麗に対応している事が分かるであろう。誤解を恐れずに言えば $a$ と $\mathcal{C}(-, a)$ は同じものの異なる表現であると言える。

表現可能関手と極限 #

極限は表現可能関手によって定める事ができる。

任意の $x\in\mathcal{C}$ に対して $\mathcal{C}(x, 1), \mathcal{C}(0, x)$ が一点集合であるということであり、終対象・始対象の定義と一致することがわかる。

積の定義より、任意の $x\in\mathcal{C}$ に対して 射の組 $(f, g) \in \mathcal{C}(x, a)\times\mathcal{C}(x, b)$ と、射 $\langle f, g\rangle \in \mathcal{C}(x, a\times b)$ が一対一に対応するので $$ \mathcal{C}(x, a)\times\mathcal{C}(x, b) \cong \mathcal{C}(x, a\times b)$$ である事がわかる。さらに $\langle f,g\rangle $の一意性より、任意の $h:x\rightarrow y$ に対して $\langle f\circ h, g\circ h\rangle = \langle f, g\rangle\circ h$ が成り立つので以下が可換となる。 $$ \xymatrix{ \mathcal{C}(y,a)\times\mathcal{C}(y, b) \ar[d]^{(-\circ h)\times (-\circ h)} \ar[r] & \mathcal{C}(y, a\times b) \ar[d]^{-\circ h}\\ \mathcal{C}(x,a)\times\mathcal{C}(x, b) \ar[r] & \mathcal{C}(x, a\times b) }$$ よって以下が自然同型である事がわかる。 $$ \mathcal{C}(-, a)\times\mathcal{C}(-, b) \cong \mathcal{C}(-, a\times b)$$ 以上を一般化すると以下の定理を得る。

米田埋め込み・米田の補題 #

表現可能関手の定義では自然変換 $\mathcal{C}(-, a)\rightarrow F$ や $\mathcal{C}(a, -)\rightarrow F$ が使われるが、これらに関する非常に重要な定理が 米田の補題(Yoneda’s Lemma) である。 Emily Riehlによれば米田の補題は"圏論の最も重要な成果"である。

$\mathcal{Y}$ の関手性は明らかである。$\mathcal{C}$ を $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ に置き換えることで、この双対版も同様に考える事ができる。 非常に高階になってきて分かりにくいので、改めて関手を図式とみなすやり方で描いてみると下図のようになる。 対象 $a,b$ を点線で囲まれた図式(表現可能関手)に写し、射 $f:a\rightarrow b$ をそれらを繋ぐ射の族(自然変換) に写す関手が米田埋め込みである。

$$\xymatrix{ a \ar[d]^f && \cdots \ar[r] & \mathcal{C}(x, a) \ar[r]\ar[d]^{f\circ -} & \mathcal{C}(y, a) \ar[r]\ar[d]^{f\circ -} & \cdots \\ b && \cdots \ar[r] & \mathcal{C}(x, b) \ar[r] & \mathcal{C}(y, b) \ar[r] & \cdots \ar@{~>}^{\mathcal{Y}}(10, -9);(20,-9) \ar@{.}(25,7);(120,7) \ar@{.}(120,7);(120,-5) \ar@{.}(120,-5);(25,-5) \ar@{.}(25,-5);(25,7) \ar@{.}(25,-14);(120,-14) \ar@{.}(120,-14);(120,-26) \ar@{.}(120,-26);(25,-26) \ar@{.}(25,-26);(25,-14) }$$

反変関手 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\rightarrow\mathbf{Set}$ を 前層(presheaf) とも呼ぶと既に述べたが、米田埋め込みは圏 $\mathcal{C}$ を前層の圏 $\hat{\mathcal{C}}$ に埋め込む操作であると言うこともできる。前層の圏については次章で詳しく説明するがとても良い性質をもった圏である。

米田の補題の同型が $a$ について自然であるというのは、任意の $f:b\rightarrow a$ について以下が可換である事であり、

$$\xymatrix{ \hat{\mathcal{C}}(\mathcal{Y}(a), F) \ar[r]^(.6){\cong} \ar[d]_{\hat{\mathcal{C}}(\mathcal{Y}(f), F)} & F(a) \ar[d]^{F(f)} \\ \hat{\mathcal{C}}(\mathcal{Y}(b), F) \ar[r]^(.6){\cong} & F(b) }$$

$F$ について自然であるというのは、任意の $\rho:F\rightarrow G$ について以下が可換となる事である。

$$\xymatrix{ \hat{\mathcal{C}}(\mathcal{Y}(a), F) \ar[r]^(.6){\cong} \ar[d]_{\hat{\mathcal{C}}(\mathcal{Y}(a), \rho)} & F(a) \ar[d]^{\rho_a} \\ \hat{\mathcal{C}}(\mathcal{Y}(a), G) \ar[r]^(.6){\cong} & G(a) }$$

証明に入る前に、具体例を考えてみよう。まず、$\mathcal{C}$ が自然数の集合 $\mathbb{N}$ である場合を考えると、 自然変換 $\mathbf{Set}^{\mathbb{N}^{\mathrm{op}}}(\mathcal{Y}(a),F)$ は、以下の縦の射の族である。ここで$0$ は空集合、 $1$ は単集合である。

$$\xymatrix{ 0 \ar[d] & \cdots & 0 \ar[d] & 1 \ar[d] & 0 \ar[d] & \cdots \\ F(0) & \cdots & F(a-1) & F(a) & F(a+1) & \cdots }$$

この自然変換がいくつあるかというと、$0\rightarrow F(x)$ は空関数しかあり得ないので一意に定まり、 $1\rightarrow F(a)$ は $F(a)$ の要素数だけ存在する。 従って $\mathbf{Set}^{\mathbb{N}^{\mathrm{op}}}(\mathcal{Y}(a), F)\cong F(a)$ である。

$\mathbb{N}$ が順序集合の場合も考えよう。この場合の自然変換は以下の図式の縦の射の族となる。

$$\xymatrix{ 1 \ar[d]^{\alpha_0} \ar@{<-}[r] & \cdots \ar@{<-}[r] & 1 \ar[d]^{\alpha_{a-1}}\ar@{<-}[r] & 1 \ar[d]^{\alpha_a}\ar@{<-}[r] & 0 \ar[d]^{\alpha_{a+1}}\ar@{<-}[r] & \cdots \\ F(0) \ar@{<-}[r] & \cdots \ar@{<-}[r] & F(a-1) \ar@{<-}[r] & F(a) \ar@{<-}[r] & F(a+1) \ar@{<-}[r] & \cdots }$$ すると、先ほどと同様にして $\alpha_{a+1}$ より右側は全て空関数となり、 $\alpha_a$ は $F(a)$ の要素数だけ存在する。そして、 $\alpha_0,\ldots,\alpha_{a-1}$ は図式の可換性から $\alpha_a$ が定まれば自動的に決まる。 従って、この場合も自然変換は $F(a)$ の要素数だけ存在し $\mathbf{Set}^{\mathbb{N}^{\mathrm{op}}}(\mathcal{Y}(a), F)\cong F(a)$ となる。また、この全単射が $\alpha\mapsto\alpha_a(1_a)$ で与えられることもわかるであろう。また、この例から $F(a)$ の要素が自然変換 $\mathcal{Y}(a)\rightarrow F$ 全体を生成する ことが分かる。

一般の場合も同様で、任意の対象 $x\in\mathcal{C}$ について、射 $x\rightarrow a$ が存在しない時には、$\mathcal{C}(x, a)=\emptyset$ であるので、自然変換 $\mathcal{Y}(a)\rightarrow F$ の$x$コンポーネントは空関数に一意に定まる。射 $x\rightarrow a$ が存在する時には、射 $\mathcal{C}(a,a)\rightarrow\mathcal{C}(x,a)$ が存在するから以下の図式を考えることができて、図式の可換性から $\alpha_a(1_a) \in F(a)$ が決まれば、 $\alpha_x$ が一意に決まる。また、この特別な場合として$x=a$ の場合を考えれば $\alpha_a(1_a)$ が決まれば、 $\alpha_a$ 自身も一意に決まる。従って、 $\alpha_a(1_a) \in F(a)$ が自然変換 $\alpha$ 全体を生成するので、$\hat{\mathcal{C}}(\mathcal{Y}(a),F)\cong F(a)$ となるわけである。

$$\xymatrix{ \mathcal{C}(a, a) \ar[r]\ar[d]^{\alpha_a} & \mathcal{C}(x, a)\ar[d]^{\alpha_x} \\ F(a) \ar[r] & F(x) }$$

米田埋め込みの性質 #

米田埋め込みが"埋め込み"と呼ばれるのに相応しいのは以下の命題より。

従って 命題2.22 より $$\mathcal{Y}(a)\cong \mathcal{Y}(b)\Leftrightarrow a\cong b$$ である。 米田埋め込みの双対 $\mathcal{C}(a, -): \mathcal{C}^{\mathrm{op}}\rightarrow\mathbf{Set}^{\mathcal{C}}$ についても全く同様であり、 米田の原理(Yoneda principle) と呼ばれる以下の命題を得る。

この定理から直ちに以下が示される。

また、既に示した自然同型 $$ \varprojlim_{i\in\mathcal{J}}\mathcal{C}(-, F(i))\cong\mathcal{C}(-, \varprojlim F)$$ は以下のようにも表現できる。

余極限は一般には保たれないので注意。 この命題の具体例をいくつか並べてみると以下のような等式を得る。

また、これと米田の原理を組み合わせれば様々な圏における極限・余極限の性質の証明が簡単にできる。例えば

などである。例えば1つ目は $$ \mathcal{Y}(a\times 1)(x)\cong \mathcal{C}(x, a\times 1) \cong\mathcal{C}(x, a)\times\mathcal{C}(x, 1)\cong\mathcal{C}(x, a)\times 1\cong\mathcal{C}(x, a)\cong\mathcal{Y}(a)(x)$$ が $x$ に関して自然な同型であることを集合論的に簡単に示すことができ、これから $\mathcal{Y}(a\times 1)\cong\mathcal{Y}(a)$ を得るので、米田の原理より $a\times 1\cong a$ が導かれる。

代数的なアナロジーが自由に使えるわけではないので注意。例えば $a\times 0=0$といった性質は一般には成り立たない。

以上のように $\hat{\mathcal{C}}$ は非常に良い性質を持っているので、米田埋め込みによって一旦議論の舞台を $\mathcal{C}$ から $\hat{\mathcal{C}}$ に移すことで様々な議論が行いやすくなるわけである。

普遍性・普遍要素・普遍的構成 #

米田の補題より、 自然同型 $\mathcal{Y}(a)\cong F$ に対応する要素 $u\in F(a)$ が存在する。これを $F$ の普遍要素という。

この $u$ を普遍要素と呼ぶ理由を説明する。米田の補題の所で説明したように、 $u$ のみから自然変換 $\mathcal{Y}(a)\rightarrow F$ 全体を生成する事が可能である訳だが、特にこれが自然同型 $\mathcal{Y}(a)\cong F$ の時には $F$ そのものを生成することが出来る。ということは、 $a\in\mathcal{C}$ と $u\in F(a)$ のみから、任意の $x\in\mathcal{C}$ について $F(x)$ の任意の要素を具体的に構成することができる。この性質を $u$ の 普遍性(universal property) といい、この構成を 普遍的構成(universal construction) という。

普遍要素 $u$ 及び、普遍的構成について調べる。米田の補題の証明より $\hat{\mathcal{C}}(\mathcal{Y}(a),F)$ と $F(a)$ の同型は

$$ \phi_{a,F}: \hat{\mathcal{C}}(\mathcal{Y}(a),F)\ni\alpha\longmapsto \alpha_a(1_a)\in F(a) $$ $$ \psi_{a,F}: F(a)\ni x \longmapsto F(-)(x)\in\hat{\mathcal{C}}(\mathcal{Y}(a),F)$$

によって与えられるので、 $\alpha$ が同型射であるときに、対応する $u=\alpha_a(1_a)$ が普遍要素である。そして、 $\alpha_a$ は $\alpha_a: \mathcal{C}(a, a)\rightarrow F(a)$ という全単射であるので、この左辺の $1_a$ 対応する要素が普遍要素である。そして、 $$ F(-)(u): \mathcal{C}(-, a)\rightarrow F$$ が自然同型 $\mathcal{C}(-, a)\cong F$ の具体的な構成であることも分かる。

これは逆も成立し、普遍性の説明でよく登場する定義が得られる。

普遍的構成の具体例を見てみよう。例として関手 $F = \mathcal{C}(-, a)\times\mathcal{C}(-, b)$ を考えよう。これが表現可能関手となるのは ある対象 $p\in\mathcal{C}$ と、 $F(p)=\mathcal{C}(p, a)\times\mathcal{C}(p, b)$ の要素、すなわち射 $\pi_a:p\rightarrow a$ と $\pi_b: p\rightarrow b$ があって、 任意の $x\in\mathcal{C}$ と、$F(x)$ の要素、すなわち射 $f:x\rightarrow a$ と $g:x\rightarrow b$ に対して、 $$ (f, g) = F(\xi)(\pi_a, \pi_b)=(\mathcal{C}(\xi, a)\times\mathcal{C}(\xi, b))(\pi_a,\pi_b) = (\pi_a\circ\xi, \pi_b\circ\xi) $$ となるような $\xi: x\rightarrow p$ がただ一つ存在することである。となって、積の定義が得られる。

$$\xymatrix{ & x \ar[ld]_{f} \ar[rd]^{g} \ar@{.>}[d]^{\exists! \xi} &\\ a & p \ar[l]_{\pi_a} \ar[r]^{\pi_b} & b }$$

まとめると、関手 $\mathcal{C}(-, a)\times\mathcal{C}(-, b)$ が表現可能の時、これを表現する対象が $a\times b$ で、普遍要素が標準射影 $\pi_a:a\times b\rightarrow a, \pi_b:a\times b\rightarrow b$ である。

稠密性定理 #

前層の圏 $\hat{\mathcal{C}}$ には表現可能関手とそうでない関手の2種類が存在する。稠密(ちゅうみつ)性定理はこれらの関係について述べたもので非常に役に立つ定理である。

これを証明する為に、まず 要素の圏 というものを考える。

例えば $\mathcal{C}$ を対象が $a,b$ で恒等射以外の射が $f:b\rightarrow a$ のみの圏とし、 $F:\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\rightarrow\mathbf{Set}$ を

のような関手とすると、 $\int^{\mathcal{C}}F$ は以下のようなこれを"開いた"圏である。 つまり、集合と関数を全て要素単位に開いて、対象と射で表し直した圏である。但し、射の向きに注意。

これを $\pi_F$ で $\mathcal{C}$ に射影すると以下のようになり

これを $\mathcal{Y}$ で $\hat{\mathcal{C}}$ に埋め込むと

となる。そして、この図式の余極限を取るとそれが $F$ と一致する。直感的に説明すると、極限錐 は4つの自然変換 $\phi_x,\phi_y,\phi_p,\phi_q$ からなり、 $$ \phi_p = \phi_x\circ(f\circ -) $$ $$ \phi_p = \phi_y\circ(f\circ -) $$ が成り立ち、これ以外に余分な情報を持たなものである。この錐が $F$ と同一の情報を持っている事が分かるだろう。

すなわち、極限錐の側面の自然変換の集合 $\{\varinjlim_{i\in\mathcal{J}}\mathcal{C}(-,d_i)\rightarrow \mathcal{C}(-, a)\}$ が $F(a)$ と一致し、 側面の可換性として、 $F(f): F(a)\rightarrow F(b)$ が表現されるわけである。では証明する。

指数対象 #

極限とは異なる普遍性をもつ対象に 指数対象(exponential object) がある。指数対象は “関数” のような性質を持つ対象のことで、“引数” を与えて “結果” を得る事が出来る。 すなわち $f$ と $a$ から $f(a)$ を得るような操作を圏論的に一般化したものである。

指数対象の定義 #

ここで登場した $\mathcal{C}(-\times a, b)$ は $\mathcal{C}(-, b)\circ (-\times a)$ という2つの関手を合成したもので、 関手 $-\times a$ は $x\in\mathcal{C}$ を $x\times a$ に移し、 $f:x\rightarrow y$ を $f\times 1_a$ に移すような関手である。

この定義を 命題3.17 を用いて図式を用いた定義に翻訳すると、任意の $f:x\times a\rightarrow b$ に対して $$ f = \mathcal{C}(u\times a, b)(\mathrm{ev}) = (-\circ (u\times 1_a))(\mathrm{ev}) = \mathrm{ev} \circ (u\times 1_a) $$ となるような $u: x\rightarrow b^a$ が一意に存在する、と言う事が指数対象の持つ普遍性となる。

$$\xymatrix{ x\times a \ar[d]_{u\times 1_a} \ar[rd]^f & \\ b^a\times a \ar[r]^{\mathrm{ev}} & b }$$

指数対象の性質 #

指数対象が $a^b$ と書かれるのは指数法則と類似した性質を満たす為である。

余積 $0$ や $a+b$ に関する指数法則は一般に成立しないが、分配圏 においてはこれらも成立する。

カルテシアン閉圏 #

カルテシアン閉圏は集合のような対象と、それらの間の写像のようなものが一つの圏の中に同居しているものである。例えば $\mathbf{Set}$ や $\mathbf{Cat}$ はカルテシアン閉圏である。 また、論理学における 含意(implication) $P\Rightarrow Q$ も指数対象で表す事ができ、カルテシアン閉圏が主要な舞台となる。

随伴 #

普遍的構成の一種である 随伴(adjunction) は二つの圏 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ を相互に繋ぐ関手 $$ F: \mathcal{C}\rightleftarrows\mathcal{D}: G$$ の間の関係であるが、

“Adjoint functors arise everywhere” (S. Mac Lane, Categories for the working mathematician)

とマクレーンが言っているように、数学の様々な場所で普遍的に現れるものである。様々な数学的概念を随伴として表現する事ができる。

随伴の定義 #

以下のように図示すると対応が分かりやすい。

$$\begin{array}{rcccl} F(a) & \rightarrow & b & \text{in $\mathcal{D}$}\\ \hline a & \rightarrow & G(b) & \text{in $\mathcal{C}$} \end{array}$$

ここで、自然同型 $ \phi_{a,b}: \mathcal{D}(F(a), b)\cong \mathcal{C}(a,G(b)) $ が $a,b$ について自然であるというのは、任意の $f:a’\rightarrow a, g:b\rightarrow b’$ について

$$ \xymatrix{ \mathcal{D}(F(a), b) \ar[r]^{\phi_{a,b}} \ar[d]_{\mathcal{D}(F(f), g)=g\circ - \circ F(f)} & \mathcal{C}(a, G(b)) \ar[d]^{\mathcal{C}(f, G(g))=G(g)\circ - \circ f} \\ \mathcal{D}(F(a’), b’) \ar[r]^{\phi_{a’,b’}} & \mathcal{C}(a’, G(b’)) } $$

が成り立つことである。見にくいので $\phi_{a,b}(h),\phi^{-1}_{a,b}(h)$ をいずれも $\overline{h}$ と書けば、任意の $h: F(a)\rightarrow b$ に対して以下の等式が成り立つ。 もちろん $\overline{\overline{h}}=h$ である。

随伴の例 #

任意の関手 $F:\mathcal{J}\rightarrow \mathcal{C}$ について極限が存在する場合、 $\varprojlim:\mathcal{C}^{\mathcal{J}}\rightarrow\mathcal{C}$ という関手が存在する。

すると対角関手 $\Delta:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{C}^{\mathcal{J}}$ と極限関手 $\varinjlim:\mathcal{C}^{\mathcal{J}}\rightarrow\mathcal{C}$ に関して、 以下の自然な同型対応がある事が分かる。

$$\begin{array}{rccl} \Delta(x) & \rightarrow & F & \text{in $\mathcal{\mathcal{C}^{\mathcal{J}}}$}\\ \hline x & \rightarrow & \varprojlim F & \text{in $\mathcal{C}$} \end{array}$$

余極限に関しても同様で $\varprojlim,\varinjlim$ と対角関手の間に随伴関係が存在する事が分かる。

指数対象についても同様の随伴を構成する事ができる。

すると、以下のような $x,y$ について自然な同型が存在して、これは随伴関係である。

$$\begin{array}{rcccl} x\times a & \rightarrow & y & \text{in $\mathcal{C}$} \\ \hline x & \rightarrow & y^a & \text{in $\mathcal{C}$} \end{array}$$

随伴の性質 #

随伴に関して、以下の性質は特に重要である。様々な概念が随伴で構成できる為、役に立つ場面が多い。

例えば、 随伴関係 $(-)\times a \dashv (-)^a$ から $$ (\varprojlim F)^a \cong \varprojlim (-)^a \circ F, \quad (\varinjlim F)\times a \cong \varinjlim ((-)\times a)\circ F$$ が成り立つので $ (x\times y)^a \cong x^a \times y^a$ や $ (x + y)\times a \cong x\times a + y\times a$ が成立するといった事が示せる。

三角等式・単位元・余単位元 #

今の証明から分かるように、単位元・余単位元は以下の関係から求められる。

単位元・余単位元の例 #

単位射・余単位射の具体的な例を見てみよう。例えば随伴

$$\begin{array}{rcccl} \Delta(x) & \rightarrow & F \\ \hline x & \rightarrow & \varprojlim F \end{array}$$

の単位射は

$$\begin{array}{rcccl} \Delta(x) & \rightarrow & \Delta(x) \\ \hline x & \rightarrow & \varprojlim \Delta(x) \end{array}$$

の上の恒等射に対応する下の射である。 $\varprojlim \Delta(x) = x$ であることは容易にわかるから、下の対応する射は $1_x$ すなわち、 $\eta_x=1_x$ である。 続いて、余単位射は

$$\begin{array}{rcccl} \Delta(\varprojlim F) & \rightarrow & F \\ \hline \varprojlim F & \rightarrow & \varprojlim F \end{array}$$ の下の恒等射に対応する上の射である。従って $\epsilon$ は極限錐 $\epsilon: \Delta(\varprojlim F)\rightarrow F$ である。

同様に、随伴 $$\begin{array}{rcccl} x\times a & \rightarrow & y \\ \hline x & \rightarrow & y^a \end{array}$$ の余単位射は評価射 $\mathrm{ev}: y^a\times a\rightarrow y$ である。