圏論の概要 #

圏論(category theory) は、1942-45年にSamuel EilenbergとSaunders Mac Laneによって代数的位相幾何学の研究の中で発明された数学の一分野であり、数学的概念を表現し議論するための抽象的な言語を提供する。 圏論の諸概念は、それらの例を数学のあらゆる分野で見つけることができる。 圏論に通底する哲学は、集合論を構成する 集合と帰属関係 という原始的な概念を、集合と関数の概念を抽象化した、 対象と射 という概念に置き換えることである。 さらに言えば、それらを更に抽象化した 関手と自然変換 という概念に置き換えることである。

圏論が発明されて以来、そのアプローチは数学者が各々の主題を捉える方法に深いパラダイムシフトをもたらし、以前ではほとんど不可能だった重要な発見への道を開いた。 圏論の大きな成果の一つがトポス理論であり、これは全面的に圏論の言語で書かれた理論である。

圏 #

最初に、圏の定義を行う。冒頭で述べたように、圏とは集合と関数の概念を抽象化した 対象と射 からなり、関数の合成を抽象化した演算を持つものである。集合と関数全体、ベクトル空間と線形写像全体、群と群準同型写像全体など様々なものを圏と見なすことができる。

圏の定義 #

以上にように、圏とは対象と射によって定められるものであるが、対象と射は定義を満たすものであればどのようなものであっても構わない。

例えば、以下のような数学的対象とその間の準同型写像を射とする圏が様々存在する。 これらの圏は全て局所小圏である。また、いずれも対象の類は集合ではない。

• $\mathbf{Set}$: 集合と写像
• $\mathbf{Top}$: 位相空間と連続写像
• $\mathbf{Grp}$: 群 と 群の準同型写像
• $\mathbf{Rng}$: 環 と 環の準同型写像
• $\mathbf{Mod}_R$: R加群 と 加群の準同型写像
• $\mathbf{Vect}_{K}$: 体 $K$ 上のベクトル空間 と 線型写像

小圏には例えば以下のようなものがある。

• 集合 : 射が恒等射のみである小圏。 離散圏(discrete category) ともいう。
• モノイド: 対象が1つしかない小圏。
• 半順序集合 : $a \leq b$ を射 $a\rightarrow b$ と見なしたもの。任意の対象 $a,b$ について射 $a\rightarrow b$ が高々一つであり、$a\rightarrow b$ と $b\rightarrow a$ が共に存在するならば $a=b$ であるような小圏。半順序集合(partially ordered set)を略して poset とも言う。

また、以下のような単純な圏も部品として様々な場面で用いられる

• $\mathbf{0}$: 対象の類も射の類も空集合であるような圏。空圏(empty category) という。
• $\mathbf{1}$: 対象が1つで、恒等射のみの圏
• $\mathbf{2}$: 対象が2つで、恒等射以外の射が1つの圏
• $\mathbf{3}$: 対象が3つで、恒等射以外の射が3つ(1つは他2つの合成)の圏

$$ \xymatrix { \mathbf{1} & \mathbf{2} & & \mathbf{3} & \\ \bullet & \bullet\ar[r] & \bullet & \bullet \ar[r] \ar@/^1pc/[rr] & \bullet \ar[r] & \bullet \\ } $$

圏論では射の等式の代わりに 可換図式(commutative diagram) を用いる事が多い。 図式が可換であるとは、図式内の射の列の合成射は始点と終点が一致するならば経路の選び方によらず一致するということ。 例えば $g\circ f=h$ であるということを「以下の図式が可換である」などと表現する。

$$ \xymatrix { a \ar[d]_f \ar[rd]^h & \\ b \ar[r]_g & c } $$

では可換図式を用いて、命題を一つ証明してみる。

$1_a,1’_a: a\rightarrow a$ が共に恒等射であるとすると、以下の図式の上半分、下半分がいずれも恒等射の性質より可換となるから、図式を辿って $1_a=1’_a$ を得る $\square$

$$ \xymatrix { a \ar[r]^{1_a} \ar@/^2pc/[rr]^{1_a} \ar@/_2pc/[rr]_{1’_a} & a \ar[r]^{1’_a} & a } $$

このような図式を辿る事による証明方法をdiagram chasingという。

簡単に示せるように同型関係は同値関係である。

圏から新しい圏を作る様々な操作が可能である。最も基本的な構成として積圏がある。これは集合の直積を一般化したようなものである。(実際 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ が離散圏なら $\mathcal{C}\times\mathcal{D}$ はその直積集合となる。)

双対性 #

圏の射の向きを全て逆にした圏を双対圏という。

圏論における多くの概念は、その双対版が存在するが、以下の原理から一方について証明が出来ればもう一方は自動的に示される。

単純な原理であるが、圏論の言語での2つの双対命題は、それを「具体的な」圏で解釈したときには、非常に異なる(しかも同値ではない!)命題となる事がある。 時折、通常の数学的命題の圏論の言語を用いた抽象的な証明を得ることが可能である。そのような場合は、双対原理を用いることで、元の文脈における双対バージョンの命題を得ることができる。

双対な概念の例として、モノ射・エピ射を取り上げる。これらは単射・全射を抽象化したものである。また、トポス理論においては 部分対象(subobject) を定義する為にモノ射が利用される。

モノ射の双対をエピ射という。

冒頭で述べたように、モノ射・エピ射は単射・全射の概念を抽象化したものであり $\mathbf{Set}$ においては実際に一致する。 ただし、一般の圏においては、単射・全射とモノ・エピは一致しない ので注意。

モノ射とエピ射は圏論の世界では対称的な定義だが、具体的な集合と関数では一見そのように見えないというところが面白い。また、これらの命題から直ちに以下が言える。

より一般に、以下が言える。逆射を両辺に合成することで、左簡約も右簡約も可能であるからである。

ただし、この逆は成立しない。例えば、順序集合を$\leq$を射とする圏とみなしたとき、全ての射はモノかつエピだが同型射とは限らない。

関手 #

例えばベクトル空間の間に、その構造を保つ写像として線型写像が定義されるように、圏の間にも構造を保つ写像を定める事ができる。これを関手という。関手を用いると、異なる圏の間の関係性を述べる事ができるようになる。

関手の定義 #

関手は様々な代数系における 準同型写像(homomorphism) と同じものである。圏の代数系としての構造を定める恒等射、合成関係を保つ写像となっている。

恒等写像であるような関手 $F$ を 恒等関手(identity functor) といい $1_\mathcal{C}:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{C}$ や $\mathrm{id}_{\mathcal{C}}$ と書く。 また、関手 $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}, G:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{E}$ に対して対象・射共に通常の関数合成を行うと$\mathcal{C}$ から $\mathcal{E}$ への関手が得られる。これを関手の合成といい $G\circ F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{E}$ と書く。 $\circ$ を省略して $GF$ と書くこともある。すると、以下のような圏を構成できる事が分かる。

射の向きが逆になるような対応を反変関手という。後ほど登場するが、反変関手 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\rightarrow\mathbf{Set}$ の事を 前層(presheaf) といい、特に重要である。

全てを一つの対象に潰す関手を定数関手という。

図式としての関手 #

今後の為に、関手を 図式(diagram) とみなす考え方に慣れておいた方が良い。 図式の方が視覚的なイメージを得やすい為、今後登場する抽象的・高階な概念や定理の理解がしやすくなる。 例えば関数 $\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$ について考える、ということと実数列 $a_0,a_1,\ldots$ について考えるという事は同じ事であるが、後者の方がイメージを得やすい場面もあるだろう。これと同じ事である。

$\mathcal{J}$ という文字を使ったり、添字圏という名前を使ってはいるが、$F$ は至って普通の関手である。任意の関手 $\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ は $\mathcal{D}$ の中の $\mathcal{C}$ と同じ形の図式なのである。

例えば添字圏 $\mathcal{J}$ が対象が3つの $$\xymatrix{ \bullet \ar[r] & \bullet & \bullet \ar[l] }$$ のような圏 であるとすると、関手 $F:\mathcal{J}\rightarrow\mathcal{C}$ は$\mathcal{C}$ の中の以下の形の図式と同一視することができる。 $$\xymatrix{ a \ar[r] & c & b \ar[l] }$$

特に重要なのは、関手 $\mathbf{1}\rightarrow\mathcal{C}$ は $\mathcal{C}$ の対象1つとみなす事ができるという事である。すなわち、関手の特別な場合として対象が含まれる訳であるから、関手とは"対象"を一般化させた概念である という事ができる。同様に、後ほど関手と関手の間の準同型である 自然変換(natural transformation) という概念が出てくるが、これは射を一般化させた概念であると言える。すなわち、 “対象と射"を一般化させた概念が"関手と自然変換"である という見方ができる。

準同型としての関手、図式としての関手、対象の一般化としての関手などの見方を状況によって使い分けられるようになると、様々な定理のイメージが掴みやすくなる。

関手の性質 #

関手 $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ によって $\mathcal{C}$ を $\mathcal{D}$ に移して $\mathcal{D}$ の中で $\mathcal{C}$ について調べるということがよく行われる。その為には、以下のような性質を持つ関手が重要となる。

本質的全射が全射と異なるのは $F(a)\simeq b$ と $F(a)=b$ の違い。 圏論では、同型な対象はその圏論的な性質によっては区別する事ができず、実質的に1つの対象と見なすことが自然である。よって、対象の厳密な一致ではなく同型 $\simeq$ を用いて定められた性質の方がより本質的な性質となる。

自然変換 #

関手の間の準同型の事を 自然変換(natural transformation) という。また 図式としての関手 で述べたように、対象を一般化したものが関手であるとすると、射を一般化したものが自然変換である。

自然変換・自然同型 #

複雑な定義に見えるが、関手を図式と思えばなんて事はなく、つまり $\mathcal{D}$ の中の $\mathcal{C}$ の形の図式の対応する点を同じ向きに繋ぐ 射の族で、全体が可換であるような物を自然変換というのである。

関手 $F,G,H:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ の間に自然変換 $\phi:F\rightarrow G, \psi: G\rightarrow H$ が存在する時、下図の横の射をそれぞれ合成した射の族 $\{\psi_a\circ\phi_a\}$ は 自然変換 $F\rightarrow H$ となる。これを自然変換の合成といい $\psi\circ \phi$ と書く。

$$\xymatrix{ F(a) \ar[r]^{\phi_a} \ar[d]_{F(f)} & G(a) \ar[r]^{\psi_a} \ar[d]^{G(f)} & H(a) \ar[d]^{H(f)} \\ F(b) \ar[r]^{\phi_b} & G(b) \ar[r]^{\psi_b} & H(b) }$$

そうすると、関手を対象とし自然変換を射とする圏を定める事が出来る。

関手圏 #

同型・圏同値 #

2つの圏 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ が何らかの意味で同じであるという事を表す方法として、 同型、圏同値 という異なる関係性がある。これらの違いをしっかり理解したいので、合わせてここで紹介する。

これは、本質的全射の所で述べたのと同じ理由で条件が強すぎて、同型な対象 $a\simeq b$ は同じものと見なした上で圏が本質的に一致する条件を考えたい。 そこで、圏同値という概念が重要となる。

例えば、$\mathcal{C}$ を対象が1つで、恒等射のみの圏、$\mathcal{D}$ を対象が2つであり、その2つの間に同型射がある圏とする。これらはそもそも対象の数、射の数が異なり同型ではないが、$\mathcal{D}$ の2つの対象は同型なのであるから実質対象が1つの圏と考える事ができる。実際、 $\mathcal{C}$ と $\mathcal{D}$ は圏同値になる。

$$\xymatrix{ \mathcal{C} & & \mathcal{D} \\ \bullet & & a \ar@/^1pc/[d]^{f} \\ & & b \ar@/^1pc/[u]^{f^{-1}} }$$

もう少し実践的な例をあげると、実数値の数ベクトル空間 $\mathbb{R}^n\ (n=0,1,\ldots)$ を対象とし線形写像を射とする圏 $\mathcal{C}$と、有限次元の実数係数ベクトル空間と線形写像の圏 $\mathcal{D}$ は同型ではないが同値となる。

極限 #

集合論における直積や直和のような概念は圏論においては 普遍性(universal property) と呼ばれる性質を用いた 普遍的構成(universal construction) という方法を用いて定義することができる。 極限(limit) は普遍的構成の特別なものであるが、非常に広範な数学的概念に共通する抽象概念である。まずは具体例として終対象・始対象、積・余積を例にあげた後に極限の定義や性質を紹介する。

終対象・始対象 #

例えば、$\mathbf{Set}$ における終対象は一点集合、始対象は空集合である。posetにおける終対象・始対象は、もし存在するならば、最大値・最小値である。

ここで注意したいのは、普遍性による概念の定義はある特定の対象や射を定めるものではないということである。例えば $\mathbf{Set}$ における終対象である一点集合は無数に存在し、その特定の1つを指定することはできない。しかし、以下の命題で示されるように終対象・始対象は同型を除いて一意であり、対象の同型関係は同値関係であるので具体的な対象の選び方によらず、同値類は一意に決定される。このことは、終対象・始対象に限らず一般化されることを後ほど見ていく。

積・余積 #

集合 $A,B$ の直積 $A\times B$ および直和 $A\oplus B$ を圏論的に一般化した概念が 積(product) と 余積(coproduct) である。

終対象と同様に積も同型を除いて一意となる事も示す事が出来る。これについては後に一般化して証明する。

上記の例におけるカッコ書きに相当する言い回しは、省略しても圏論の語彙を用いた議論の範疇に於いては矛盾が生じないので今後は省略することにする。 直積以外には例えば、posetの要素 $a,b$ の積は、もし存在するならば$\{a,b\}$の下限となる。例えば

• 数値と大小関係からなるposet: $\min\{a,b\}$
• 集合と包含関係からなるposet: $a\cap b$

などである。他にも論理式を対象とし、証明を射とする圏を考える事ができるが、この圏においては$a \wedge $b が積となる。このように数学における様々な概念が積として表現される。

積の双対概念が余積である。

先ほど、積の例としてあげた $\min\{a,b\}$, $a\cap b$, $a\wedge b$ の圏論的双対は $\max\{a, b\}$, $a\cup b$, $a\vee b$ であり、これらは直感的にも理解しやすいと思う。しかし、集合の直積と直和の間の双対性は、集合論的な定義においてはなかなか認識し難い関係であり面白い。但し、集合の直和以外の直和概念一般には言えないので注意。例えば環の直和は余積ではなく、積となる。

極限 #

終対象・始対象、積・余積を抽象化した概念が 極限(limit) である。これがどのようなものか理解するために、具体例として積についてに考える。積の図式は少し書き直してみると以下のように書くことができるが、この点線で囲まれた $a\xleftarrow{f} x \xrightarrow{g} b$ という形の図式を対象とする圏を考える事が出来る。 そして、$u:x\rightarrow a\times b$ がただ一つ存在するという事は、対象 $a\xleftarrow{\pi_a} a\times b\xrightarrow{\pi_b}b$ がその圏の終対象であることとして表現する事が出来る。

$$\xymatrix{ a \ar[d]^{1_a} & x \ar[l]_{f} \ar[r]^{g} \ar@{.>}[d]^{\exists! u} & b \ar[d]^{1_b}\\ a & a\times b \ar[l]_{\pi_a} \ar[r]^{\pi_b} & b \ar@{.}(-5,7);(47,7) \ar@{.}(47,7);(47,-5) \ar@{.}(47,-5);(-5,-5) \ar@{.}(-5,-5);(-5,7) \ar@{.}(-5,-13);(47,-13) \ar@{.}(47,-13);(47,-25) \ar@{.}(47,-25);(-5,-25) \ar@{.}(-5,-25);(-5,-13) }$$

後ほど定義を行うが、このような対象を 錐(cone) という。この場合は $a,b$ が底で$x$が頂点であるような錐である。 以下のように立てて描いてみるとイメージが湧きやすいかもしれない。

より一般には、下図のように底面の頂点が複数あり、その間に射があるようなものを錐として考える事で、様々な概念を統一的に議論できるというわけである。

では錐と錐の圏の定義を進める。 図式としての関手 で説明したように、錐の底面はその形を表す添字圏 $\mathcal{J}$ からの関手 $F: \mathcal{J}\rightarrow\mathcal{C}$ で表す事ができる。そして、底面の各頂点に対して $x$ から射が生えているというのが一般的な錐の定義であるが、対象と射より関手と自然変換によって物事を説明した方が使い勝手が良い為、ここでは別の定義行おうと思う。その為には、下図の用に頂点 $x$ を底面と同じ形に開いてしまおう。

このように展開してみると、上面を形が $\mathcal{J}$ の定数関手 $x$ で表せる事がわかるだろう。これを $\Delta(x):\mathcal{J}\rightarrow\mathcal{C}$ という記号で書く事にする。すると、錐とは上面 $\Delta(x)$ から底面 $F$ への自然変換であるとして表す事ができる。また、この双対版として底面から上面への錐も考える事ができる。

定義が高階になり難しく見えるが、関手を図式と思えば二つの面 $\Delta(x)$ と $F$ を縦に繋いだものが錐なのだと自然に理解できるだろう。ところで、ここで登場した $\Delta$ はそれ自体が関手である。今後使うので定義をしておく。

そして、錐の頂点の間の射によって、錐から錐への射を定義する事で錐の圏が出来上がる。

この圏のイメージは以下のようになる。すなわち $x$ から $F$ への錐を $f:x\rightarrow y$ と $y$ から $F$ への錐に分解できるという状況を錐の間に射 $f$ が存在すると定めるのである。

極限は終対象であるから、同型を除いて一意に定まる。余極限も同様。

上の定義のように、極限とは条件を満たす"錐”(極限錐という)の事であるが、極限錐の頂点の事をさして極限という場合もある。しかし、同型な極限錐の頂点同士も同型であるし、逆に $a\simeq b$ で $a$ が極限錐の頂点であるならば、 $b$ もそれと同型な極限錐の頂点となる事が簡単に示せるので、用語の濫用は実用上は問題とならない。

極限の例 #

既に紹介した終対象・始対象、積・余積も極限・余極限の例である。まず $\mathcal{J}$ として空圏(対象も射も空集合の圏)をとった極限が終対象、余極限が始対象である。そして、積・余積は次のように一般化できる。

引き戻しは、後ほど初等トポスを定義する際に重要な道具となる。そこで再びその特徴について掘り下げて説明する。

$\mathbf{Set}$ における極限 #

$\mathbf{Set}$ は任意の(小さい)極限や余極限が存在するという良い性質を持っている。 まず

• 終対象は一点集合、始対象は空集合
• 積は直積集合、余積は直和集合

である。関数 $f,g: A\rightarrow B$ が与えられた時のイコライザは $$\mathrm{eq}(f,g) = \{x\in A\mid f(x)=g(x)\}$$ すなわち、 $f=g$ の解集合である。コイコライザは $f(x)\sim g(x)\ (\forall x\in B)$ となるような最小の同値関係 $\sim$ による $B$ の商集合 $$\mathrm{coeq}(f,g)= B/{\sim}$$ である。これは少し分かり辛いので例を挙げる。例えば $f,g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ が $f(n) = n, g(n) = n + 2$ の場合は $$ 0 \sim 2 \sim 4 \cdots,\quad 1\sim 3\sim 5\cdots $$ であるような最小の同値関係(すなわち $n$ の偶奇の一致)で$\mathbb{N}$を割ったものが $\mathrm{coeq}(f,g)$ なので $$ \mathrm{coeq}(f,g) = \{[0],[1]\}$$ となる。

$A\xrightarrow{f}C\xleftarrow{g}B$ の引き戻しは $$A\times_C B=\{(x,y) \in A\times B \mid f(x)=g(y) \}$$ である。また $A\xleftarrow{f}C\xrightarrow{g}B$ の押し出しは $(0,f(x))\sim(1,g(x))\ (\forall x\in C)$ となるような最小の同値関係 $\sim$ による $A+B$ の商集合 $$ A+_C B = (A+B)/{\sim}$$ である。

完備性 #

前節のように $\mathbf{Set}$ は任意の(小さい)極限や余極限が存在するという良い性質を持っている。このような圏の性質を 完備性(completeness) という。

任意の極限を持つことを直接証明するのは難しいが、以下の定理より、積とイコライザもしくは余積とコイコライザを持つ事のみ示せば十分である。

連続性 #

普遍性 #

本節では圏論において非常に重要な概念である 普遍性(universal property) と関連する諸概念について説明する。普遍性を用いると、圏論の様々な概念を統一的な方法で構成する事ができる。前節で説明した極限も普遍性を用いた構成の一つである。

普遍性の説明には複数の方法があるが、ここではエミリー・リール(Emily Riehl)による 表現可能関手(representable functor) を用いた説明を行う。

Hom関手 #

圏論の語彙では、対象や射が具体的に何であるか(例えばベクトル空間や線型写像であるといったこと)を特定し、その性質(例えばベクトル空間の定理)を用いて議論を行う事が基本的には出来ない。従って、圏論においてある対象 $a\in\mathcal{C}$ について調べる時には $a$に向かう射の集合 $\mathcal{C}(x, a)$や、 $a$ から出る射の集合 $\mathcal{C}(a, x)$ について調べる事が主要な手段となる。そこで Hom関手(hom-functor) という概念が登場する。

$\mathcal{C}$ を局所小圏とすると、任意の $a,x\in\mathcal{C}$ について $\mathcal{C}(a, x)$ は集合になる。 すなわち $\mathbf{Set}$ の対象になるので、$x\longmapsto \mathcal{C}(a, x)$ という $\mathcal{C}$ から $\mathbf{Set}$ への対象の対応を得ることができる。このとき、射 $f:x\rightarrow y$ に対応する$\mathbf{Set}$ の射 $\mathcal{C}(a, f): \mathcal{C}(a, x)\rightarrow\mathcal{C}(a, y)$ も定める事ができて、この対応は関手となる。

証明は共変Hom関手と同様なので省略。「共変」「反変」は誤解の恐れがない場合は省略する事が多い。

表現可能関手 #

Hom関手 $\mathcal{C}(a, -), \mathcal{C}(-, a)$ は、対象 $a$ 一つのみでその全てが表現される。この意味でHom関手 $\mathcal{C}(a, -), \mathcal{C}(-, a)$ 及びこれらと自然同型な関手は 表現可能(representable) であると言われ、 $a$ をそれを 表現する対象(representing object) という。

後に示すように表現可能関手 $F$ を表現する対象は同型を除いて一意であるので、表現可能性を用いて対象 $a$ を定義する事も可能である。

表現可能関手とはどのようなものか具体例を見てみよう。非常に簡単な例として、 $\mathcal{C}$ として自然数の集合 $\mathbb{N}$ をとる。これは離散圏であり、恒等射以外存在しないので 関手 $\mathbb{N}(-, n)$ は $\mathbb{N}(n, n) = \{1_n\}$ で、それ以外は空集合となる関手である。すなわち、単集合を $1$、空集合を $0$ とすれば表現可能関手 $\mathbb{N}(-, n)$ は $$ 0, 0, \ldots, 0, \overbrace{1}^{n\text{番目}}, 0,\ldots $$ という集合の列である。自然数 $n$ という情報のみでこれが定まるし、逆に $\mathbf{Set}$ 内で $n$ が表現されているというイメージも得られるだろう。 また $\mathbb{N}$ の対象が表現されているだけでなく、 $\mathbb{N}$ の射も表現されている。というのは自然変換 $\mathbb{N}(-, n)\rightarrow\mathbb{N}(-, n)$ は空関数 $0\rightarrow 0$ と単一の関数 $1\rightarrow 1$ で図式を 縦に繋いだ物のみであるからただ一つしか存在しない。そして $m\neq n$ の時、自然変換 $\mathbb{N}(-, m)\rightarrow\mathbb{N}(-, n)$ は存在しない。何故ならば、$1\rightarrow 0$ なる関数は存在しないからである。 これは $\mathbb{N}(n ,n)$ が単集合、 $\mathbb{N}(m, n)\quad (m\neq n)$ が空集合であるということと対応している。

続いて、同じ $\mathbb{N}$ だが、これを順序集合とした場合を考えよう。これは以下のような圏であり、各射は大小関係 $\leq$ である。 $$ 0 \rightarrow 1 \rightarrow\cdots\rightarrow n-1\rightarrow n\rightarrow n+1\rightarrow\cdots $$ すると、表現可能関手 $\mathbb{N}(-, n):\mathbb{N}^{\mathrm{op}}\rightarrow\mathbb{Set}$ は以下の図式となる。

$$ 1\leftarrow 1 \leftarrow\cdots\leftarrow 1\leftarrow\overbrace{1}^{n\text{番目}} \leftarrow 0 \leftarrow \cdots $$

すると、先ほどと同様にして $m\leq n$ ならば $\mathbb{N}(-, m)\rightarrow\mathbb{N}(-, n)$ がただ一つ存在し、そうでなければ存在しないという事がわかる。これは $\mathbb{N}(m, n)$ の要素数と一致する。

以上は非常にシンプルな例であるが、$a\in\mathcal{C}$ と表現可能関手 $\mathcal{C}(-, a)$ が、その周囲の射も含め綺麗に対応している事が分かるであろう。誤解を恐れずに言えば $a$ と $\mathcal{C}(-, a)$ は同じものの異なる表現であると言える。続く節で 米田埋め込み(Yoneda embedding) としてこれを説明する。

米田埋め込み・米田の補題 #

表現可能関手の定義では自然変換 $\mathcal{C}(-, a)\rightarrow F$ や $\mathcal{C}(a, -)\rightarrow F$ が使われるが、これらに関する非常に重要な定理が 米田の補題(Yoneda’s Lemma) である。 Emily Riehlによれば米田の補題は"圏論の最も重要な成果"である。

$\mathcal{C}$ を $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ に置き換えることで、この双対版も同様に考える事ができる。 非常に高階になってきて分かりにくいので、改めて関手を図式とみなすやり方で描いてみると下図のようになる。 対象 $a,b$ を点線で囲まれた図式(表現可能関手)に写し、射 $f:a\rightarrow b$ をそれらを繋ぐ射の族(自然変換) に写す関手が米田埋め込みである。

$$\xymatrix{ a \ar[d]^f && \cdots \ar[r] & \mathcal{C}(x, a) \ar[r]\ar[d]^{f\circ -} & \mathcal{C}(y, a) \ar[r]\ar[d]^{f\circ -} & \cdots \\ b && \cdots \ar[r] & \mathcal{C}(x, b) \ar[r] & \mathcal{C}(y, b) \ar[r] & \cdots \ar@{~>}^{\mathcal{Y}}(10, -9);(20,-9) \ar@{.}(25,7);(120,7) \ar@{.}(120,7);(120,-5) \ar@{.}(120,-5);(25,-5) \ar@{.}(25,-5);(25,7) \ar@{.}(25,-14);(120,-14) \ar@{.}(120,-14);(120,-26) \ar@{.}(120,-26);(25,-26) \ar@{.}(25,-26);(25,-14) }$$

反変関手 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\rightarrow\mathbf{Set}$ を 前層(presheaf) とも呼ぶと既に述べたが、米田埋め込みは圏 $\mathcal{C}$ を前層の圏 $\hat{\mathcal{C}}$ に埋め込む操作であると言うこともできる。前層の圏については次章で詳しく説明するがとても良い性質をもった圏である。

米田の補題の同型が $a$ について自然であるというのは、任意の $f:b\rightarrow a$ について以下が可換である事であり、

$$\xymatrix{ \hat{\mathcal{C}}(\mathcal{Y}(a), F) \ar[r]^(.6){\simeq} \ar[d]_{\hat{\mathcal{C}}(\mathcal{Y}(f), F)} & F(a) \ar[d]^{F(f)} \\ \hat{\mathcal{C}}(\mathcal{Y}(b), F) \ar[r]^(.6){\simeq} & F(b) }$$

$F$ について自然であるというのは、任意の $\rho:F\rightarrow G$ について以下が可換となる事である。

$$\xymatrix{ \hat{\mathcal{C}}(\mathcal{Y}(a), F) \ar[r]^(.6){\simeq} \ar[d]_{\hat{\mathcal{C}}(\mathcal{Y}(a), \rho)} & F(a) \ar[d]^{\rho_a} \\ \hat{\mathcal{C}}(\mathcal{Y}(a), G) \ar[r]^(.6){\simeq} & G(a) }$$

米田の補題のイメージを掴むため、具体例を考えてみよう。まず、既に説明した $\mathcal{C}$ が自然数の集合 $\mathbb{N}$ である場合を考えると、 自然変換 $\mathbf{Set}^{\mathbb{N}^{\mathrm{op}}}(\mathcal{Y}(a),F)$ は、以下の縦の射の族である。ここで$0$ は空集合、 $1$ は単集合である。

$$\xymatrix{ 0 \ar[d] & \cdots & 0 \ar[d] & 1 \ar[d] & 0 \ar[d] & \cdots \\ F(0) & \cdots & F(a-1) & F(a) & F(a+1) & \cdots }$$

この自然変換がいくつあるかというと、　$0\rightarrow F(x)$ は空関数しかあり得ないので一意に定まり、 $1\rightarrow F(a)$ は $F(a)$ の要素数だけ存在する。 従って $\mathbf{Set}^{\mathbb{N}^{\mathrm{op}}}(\mathcal{Y}(a), F)\simeq F(a)$ である。

$\mathbb{N}$ が順序集合の場合も考えよう。この場合の自然変換は以下の図式の縦の射の族となる。

$$\xymatrix{ 1 \ar[d]^{\alpha_0} \ar@{<-}[r] & \cdots \ar@{<-}[r] & 1 \ar[d]^{\alpha_{a-1}}\ar@{<-}[r] & 1 \ar[d]^{\alpha_a}\ar@{<-}[r] & 0 \ar[d]^{\alpha_{a+1}}\ar@{<-}[r] & \cdots \\ F(0) \ar@{<-}[r] & \cdots \ar@{<-}[r] & F(a-1) \ar@{<-}[r] & F(a) \ar@{<-}[r] & F(a+1) \ar@{<-}[r] & \cdots }$$ すると、先ほどと同様にして $\alpha_{a+1}$ より右側は全て空関数となり、 $\alpha_a$ は $F(a)$ の要素数だけ存在する。そして、 $\alpha_0,\ldots,\alpha_{a-1}$ は図式の可換性から $\alpha_a$ が定まれば自動的に決まる。 従って、この場合も自然変換は $F(a)$ の要素数だけ存在し $\mathbf{Set}^{\mathbb{N}^{\mathrm{op}}}(\mathcal{Y}(a), F)\simeq F(a)$ となる。また、この全単射が $\alpha\mapsto\alpha_a(1_a)$ で与えられることもわかるであろう。また、この例から $F(a)$ の要素が自然変換 $\mathcal{Y}(a)\rightarrow F$ 全体を生成する ことが分かる。

一般の場合も同様で、任意の対象 $x\in\mathcal{C}$ について、射 $x\rightarrow a$ が存在しない時には、$\mathcal{C}(x, a)=\emptyset$ であるので、自然変換 $\mathcal{Y}(a)\rightarrow F$ の$x$コンポーネントは空関数に一意に定まる。射 $x\rightarrow a$ が存在する時には、射 $\mathcal{C}(a,a)\rightarrow\mathcal{C}(x,a)$ が存在するから以下の図式を考えることができて、図式の可換性から $\alpha_a(1_a) \in F(a)$ が決まれば、 $\alpha_x$ が一意に決まる。また、この特別な場合として$x=a$ の場合を考えれば $\alpha_a(1_a)$ が決まれば、 $\alpha_a$ 自身も一意に決まる。従って、 $\alpha_a(1_a) \in F(a)$ が自然変換 $\alpha$ 全体を生成するので、$\hat{\mathcal{C}}(\mathcal{Y}(a),F)\simeq F(a)$ となるわけである。

$$\xymatrix{ \mathcal{C}(a, a) \ar[r]\ar[d]^{\alpha_a} & \mathcal{C}(x, a)\ar[d]^{\alpha_x} \\ F(a) \ar[r] & F(x) }$$

米田埋め込みの性質 #

米田埋め込みが"埋め込み"と呼ばれるのに相応しいのは以下の命題より。

従って 命題2.21 より $$\mathcal{Y}(a)\simeq \mathcal{Y}(b)\Leftrightarrow a\simeq b$$ である。 米田埋め込みの双対 $\mathcal{C}(a, -): \mathcal{C}^{\mathrm{op}}\rightarrow\mathbf{Set}^{\mathcal{C}}$ についても全く同様であり、 米田の原理(Yoneda principle) と呼ばれる以下の命題を得る。

この定理から直ちに以下が示される。

また、以下が成り立つ。

余極限は一般には保たれないので注意。

この命題の具体例をいくつか並べてみると以下のような等式を得る。

また、これと米田の原理を組み合わせれば様々な圏における極限・余極限の性質の証明が簡単にできる。例えば

などである。例えば1つ目は $$ \mathcal{Y}(a\times 1)(x)\simeq \mathcal{C}(x, a\times 1) \simeq\mathcal{C}(x, a)\times\mathcal{C}(x, 1)\simeq\mathcal{C}(x, a)\times 1\simeq\mathcal{C}(x, a)\simeq\mathcal{Y}(a)(x)$$ が $x$ に関して自然な同型であることを集合論的に簡単に示すことができ、これから $\mathcal{Y}(a\times 1)\simeq\mathcal{Y}(a)$ を得るので、米田の原理より $a\times 1\simeq a$ が導かれる。

代数的なアナロジーが自由に使えるわけではないので注意。例えば $a\times 0=0$といった性質は一般には成り立たない。

以上のように $\hat{\mathcal{C}}$ は非常に良い性質を持っているので、米田埋め込みによって一旦議論の舞台を $\mathcal{C}$ から $\hat{\mathcal{C}}$ に移すことで様々な議論が行いやすくなるわけである。

普遍性・普遍要素・普遍的構成 #

米田の補題より、 自然同型 $\mathcal{Y}(a)\simeq F$ に対応する要素 $u\in F(a)$ が存在する。これを $F$ の普遍要素という。

この $u$ を普遍要素と呼ぶ理由を説明する。米田の補題の所で説明したように、 $u$ のみから自然変換 $\mathcal{Y}(a)\rightarrow F$ 全体を生成する事が可能である訳だが、特にこれが自然同型 $\mathcal{Y}(a)\simeq F$ の時には $F$ そのものを生成することが出来る。ということは、 $a\in\mathcal{C}$ と $u\in F(a)$ のみから、任意の $x\in\mathcal{C}$ について $F(x)$ の任意の要素を具体的に構成することができる。この性質を $u$ の 普遍性(universal property) といい、この構成を 普遍的構成(universal construction) という。

普遍要素 $u$ 及び、普遍構成について調べる。米田の補題の証明より $\hat{\mathcal{C}}(\mathcal{Y}(a),F)$ と $F(a)$ の同型は

$$ \phi_{a,F}: \hat{\mathcal{C}}(\mathcal{Y}(a),F)\ni\alpha\longmapsto \alpha_a(1_a)\in F(a) $$ $$ \psi_{a,F}: F(a)\ni x \longmapsto F(-)(x)\in\hat{\mathcal{C}}(\mathcal{Y}(a),F)$$

によって与えられるので、 $\alpha$ が同型射であるときに、対応する $u=\alpha_a(1_a)$ が普遍要素である。そして、 $\alpha_a$ は $\alpha_a: \mathcal{C}(a, a)\rightarrow F(a)$ という全単射であるので、この左辺の $1_a$ 対応する要素が普遍要素である。そして、 $$ F(-)(u): \mathcal{C}(-, a)\rightarrow F$$ が自然同型 $\mathcal{C}(-, a)\simeq F$ の具体的な構成であることも分かる。

これは逆も成立し、普遍性の説明でよく登場する定義が得られる。

普遍的構成の具体例を見てみよう。例として関手 $F = \mathcal{C}(-, a)\times\mathcal{C}(-, b)$ を考えよう。これが表現可能関手となるのは ある対象 $p\in\mathcal{C}$ と、 $F(p)=\mathcal{C}(p, a)\times\mathcal{C}(p, b)$ の要素、すなわち射 $\pi_a:p\rightarrow a$ と $\pi_b: p\rightarrow b$ があって、 任意の $x\in\mathcal{C}$ と、$F(x)$ の要素、すなわち射 $f:x\rightarrow a$ と $g:x\rightarrow b$ に対して、 $$ (f, g) = F(\xi)(\pi_a, \pi_b)=(\mathcal{C}(\xi, a)\times\mathcal{C}(\xi, b))(\pi_a,\pi_b) = (\pi_a\circ\xi, \pi_b\circ\xi) $$ となるような $\xi: x\rightarrow p$ がただ一つ存在することである。となって、積の定義が得られる。

$$\xymatrix{ & x \ar[ld]_{f} \ar[rd]^{g} \ar@{.>}[d]^{\exists! \xi} &\\ a & p \ar[l]_{\pi_a} \ar[r]^{\pi_b} & b }$$

まとめると、関手 $\mathcal{C}(-, a)\times\mathcal{C}(-, b)$ が表現可能の時、これを表現する対象が $a\times b$ で、普遍要素が標準射影 $\pi_a:a\times b\rightarrow a, \pi_b:a\times b\rightarrow b$ である。 同様にして、関手 $\varprojlim(\mathcal{Y}\circ F)$ を表現する対象が $\varprojlim F$ で、普遍要素が極限錐 $\phi:\Delta(\varprojlim F)\rightarrow F$ である。

稠密性定理 #

前層の圏 $\hat{\mathcal{C}}$ には表現可能関手とそうでない関手の2種類が存在する。稠密(ちゅうみつ)性定理はこれらの関係について述べたもので非常に役に立つ定理である。

これを証明する為に、まず 要素の圏 というものを考える。

例えば $\mathcal{C}$ を対象が $a,b$ で恒等射以外の射が $f:b\rightarrow a$ のみの圏とし、 $F:\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\rightarrow\mathbf{Set}$ を

のような関手とすると、 $\int^{\mathcal{C}}F$ は以下のようなこれを"開いた"圏である。 つまり、集合と関数を全て要素単位に開いて、対象と射で表し直した圏である。但し、射の向きに注意。

これを $\pi_F$ で $\mathcal{C}$ に射影すると以下のようになり

これを $\mathcal{Y}$ で $\hat{\mathcal{C}}$ に埋め込むと

となる。そして、この図式の余極限を取るとそれが $F$ と一致する。直感的に説明すると、極限錐 は4つの自然変換 $\phi_x,\phi_y,\phi_p,\phi_q$ からなり、 $$ \phi_p = \phi_x\circ(f\circ -) $$ $$ \phi_p = \phi_y\circ(f\circ -) $$ が成り立ち、これ以外に余分な情報を持たなものである。この錐が $F$ と同一の情報を持っている事が分かるだろう。

すなわち、極限錐の側面の自然変換の集合 $\{\Delta(\varinjlim_{i\in\mathcal{J}}\mathcal{C}(-,d_i))\rightarrow \mathcal{C}(-, a)\}$ が $F(a)$ と一致し、 側面の可換性として、 $F(f): F(a)\rightarrow F(b)$ が表現されるわけである。では証明する。

指数対象 #

極限とは異なる普遍性をもつ対象に 指数対象(exponential object) がある。指数対象は “関数” のような性質を持つ対象のことで、“引数” を与えて “結果” を得る事が出来る。 すなわち $f$ と $a$ から $f(a)$ を得るような操作を圏論的に一般化したものである。

指数対象の定義 #

ここで登場した $\mathcal{C}(-\times a, b)$ は $\mathcal{C}(-, b)\circ (-\times a)$ という2つの関手を合成したもので、 関手 $-\times a$ は $x\in\mathcal{C}$ を $x\times a$ に移し、 $f:x\rightarrow y$ を $f\times 1_a$ に移すような関手である。

この定義を 命題2.60 を用いて図式を用いた定義に翻訳すると、任意の $f:x\times a\rightarrow b$ に対して $$ f = \mathcal{C}(u\times a, b)(\mathrm{ev}) = (-\circ (u\times 1_a))(\mathrm{ev}) = \mathrm{ev} \circ (u\times 1_a) $$ となるような $u: x\rightarrow b^a$ が一意に存在する、と言う事が指数対象の持つ普遍性となる。

$$\xymatrix{ x\times a \ar[d]_{u\times 1_a} \ar[rd]^f & \\ b^a\times a \ar[r]^{\mathrm{ev}} & b }$$

指数対象の性質 #

指数対象が $a^b$ と書かれるのは指数法則と類似した性質を満たす為である。

余積 $0$ や $a+b$ に関する指数法則は一般に成立しないが、分配圏 においてはこれらも成立する。

カルテシアン閉圏 #

カルテシアン閉圏は集合のような対象と、それらの間の写像のようなものが一つの圏の中に同居しているものである。例えば $\mathbf{Set}$ や $\mathbf{Cat}$ はカルテシアン閉圏である。 また、論理学における 含意(implication) $P\Rightarrow Q$ も指数対象で表す事ができ、カルテシアン閉圏が主要な舞台となる。

随伴 #

普遍的構成の一種である 随伴(adjunction) は二つの圏 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ を相互に繋ぐ関手 $$ F: \mathcal{C}\rightleftarrows\mathcal{D}: G$$ の間の関係であるが、

“Adjoint functors arise everywhere” (S. Mac Lane, Categories for the working mathematician)

とマクレーンが言っているように、数学の様々な場所で普遍的に現れるものである。様々な数学的概念を随伴として表現する事ができる。

随伴の定義 #

以下のように図示すると対応が分かりやすい。

$$\begin{array}{rcccl} F(a) & \rightarrow & b & \text{in $\mathcal{D}$}\\ \hline a & \rightarrow & G(b) & \text{in $\mathcal{C}$} \end{array}$$

ここで、自然同型 $ \phi_{a,b}: \mathcal{D}(F(a), b)\simeq \mathcal{C}(a,G(b)) $ が $a,b$ について自然であるというのは、任意の $f:a’\rightarrow a, g:b\rightarrow b’$ について

$$ \xymatrix{ \mathcal{D}(F(a), b) \ar[r]^{\phi_{a,b}} \ar[d]_{\mathcal{D}(F(f), g)=g\circ - \circ F(f)} & \mathcal{C}(a, G(b)) \ar[d]^{\mathcal{C}(f, G(g))=G(g)\circ - \circ f} \\ \mathcal{D}(F(a’), b’) \ar[r]^{\phi_{a’,b’}} & \mathcal{C}(a’, G(b’)) } $$

が成り立つことである。見にくいので $\phi_{a,b}(h),\phi^{-1}_{a,b}(h)$ をいずれも $\overline{h}$ と書けば、任意の $h: F(a)\rightarrow b$ に対して以下の等式が成り立つ。 もちろん $\overline{\overline{h}}=h$ である。

随伴の例 #

任意の関手 $F:\mathcal{J}\rightarrow \mathcal{C}$ について極限が存在する場合、 $\varprojlim:\mathcal{C}^{\mathcal{J}}\rightarrow\mathcal{C}$ という関手が存在する。

すると対角関手 $\Delta:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{C}^{\mathcal{J}}$ と極限関手 $\varinjlim:\mathcal{C}^{\mathcal{J}}\rightarrow\mathcal{C}$ に関して、 以下の自然な同型対応がある事が分かる。

$$\begin{array}{rcccl} \Delta(x) & \rightarrow & F & \text{in $\mathcal{\mathcal{C}^{\mathcal{J}}}$}\\ \hline x & \rightarrow & \varprojlim F & \text{in $\mathcal{C}$} \end{array}$$

余極限に関しても同様で $\varprojlim,\varinjlim$ と対角関手の間に随伴関係が存在する事が分かる。

指数対象についても同様の随伴を構成する事ができる。

すると、以下のような $x,y$ について自然な同型が存在して、これは随伴関係である。

$$\begin{array}{rcccl} x\times a & \rightarrow & y & \text{in $\mathcal{C}$} \\ \hline x & \rightarrow & y^a & \text{in $\mathcal{C}$} \end{array}$$

随伴の性質 #

随伴に関して、以下の性質は特に重要である。様々な概念が随伴で構成できる為、役に立つ場面が多い。

例えば、 随伴関係 $(-)\times a \dashv (-)^a$ から $$ (\varprojlim F)^a \simeq \varprojlim (-)^a \circ F, \quad (\varinjlim F)\times a \simeq \varinjlim ((-)\times a)\circ F$$ が成り立つので $ (x\times y)^a \simeq x^a \times y^a$ や $ (x + y)\times a \simeq x\times a + y\times a$ が成立するといった事が示せる。

三角等式 #

単位射・余単位射の具体的な例を見てみよう。例えば随伴

$$\begin{array}{rcccl} \Delta(x) & \rightarrow & F \\ \hline x & \rightarrow & \varprojlim F \end{array}$$

の単位射は

$$\begin{array}{rcccl} \Delta(x) & \rightarrow & \Delta(x) \\ \hline x & \rightarrow & \varprojlim \Delta(x) \end{array}$$

の上の恒等射に対応する下の射である。 $\varprojlim \Delta(x) = x$ であることは容易にわかるから、下の対応する射は $1_x$ すなわち、 $\eta_x=1_x$ である。 続いて、余単位射は

$$\begin{array}{rcccl} \Delta(\varprojlim F) & \rightarrow & F \\ \hline \varprojlim F & \rightarrow & \varprojlim F \end{array}$$ の下の恒等射に対応する上の射である。従って $\epsilon$ は極限錐 $\epsilon: \Delta(\varprojlim F)\rightarrow F$ である。

同様に、随伴 $$\begin{array}{rcccl} x\times a & \rightarrow & y \\ \hline x & \rightarrow & y^a \end{array}$$ の余単位射が評価射$\mathrm{ev}: y^a\times a\rightarrow y$ である。