位相空間上の層の切断を用いた定義を①、イコライザを用いた定義を②とする。

(①$\Rightarrow$ ②)

位相空間 $X$ 上の前層 $F$ が定義①を満たすとする。開被覆 $U=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_{\lambda}$ に対して $$e(s) = \{s|_{U_{\lambda}}\}_{\lambda\in\Lambda},\quad p(\{s_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}) = \{s_{\alpha}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}}\}_{\alpha,\beta\in\Lambda},\quad q(\{s_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}) = \{s_{\beta}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}}\}_{\alpha,\beta\in\Lambda}$$ とおくと、$F$ が前層であることより下の図式は可換である。

$$\xymatrix{ F(U) \ar[r]^-e & \displaystyle\prod_{\lambda\in\Lambda}F(U_{\lambda}) \ar@<+2pt>[r]^-{p} \ar@<-2pt>[r]_-{q} &\displaystyle\prod_{\alpha,\beta\in\Lambda}F(U_{\alpha}\cap U_{\beta}) }$$

ある集合 $A$ 及び関数 $f: x\mapsto \{f_{\lambda}(x)\}_{\lambda\in\Lambda}$ が以下を可換にするとする。

$$\xymatrix{ A \ar[r]^-f & \displaystyle\prod_{\lambda\in\Lambda}F(U_{\lambda}) \ar@<+2pt>[r]^-{p} \ar@<-2pt>[r]_-{q} &\displaystyle\prod_{\alpha,\beta\in\Lambda}F(U_{\alpha}\cap U_{\beta}) }$$

すると各 $x\in A$ に対して $f_{\alpha}(x)|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}}=f_{\beta}(x)|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}} \quad (\alpha,\beta\in\Lambda)$ であるので、定義①の条件2よりある $s\in F(U)$ が存在して $s|_{U_{\lambda}} = f_{\lambda}(x)\quad (\lambda\in\Lambda)$ となる。また条件１よりこれを満たす $s$ は一意である。

従って任意の $A,f$ に対して、以下の図式が可換となるような $u: A\ni x \mapsto s\in F(U)$ が一意に存在するので、これはイコライザの定義を満たし $F(U)\cong\mathrm{eq}(p, q)$ である。 $$\xymatrix{ A \ar@{.>}[d]^-{\exists! u} \ar[rd]^{f} & & \\ F(U) \ar[r]^-e & \displaystyle\prod_{\lambda\in\Lambda}F(U_{\lambda}) \ar@<+2pt>[r]^-{p} \ar@<-2pt>[r]_-{q} &\displaystyle\prod_{\alpha,\beta\in\Lambda}F(U_{\alpha}\cap U_{\beta}) }$$

(②$\Rightarrow$ ①)

位相空間 $X$ 上の前層 $F$ が定義②を満たすとする。開被覆 $U=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_{\lambda}$、切断 $s,t\in F(U)$ について、全ての $\lambda\in\Lambda$ で $s|_{U_{\lambda}} = t|_{U_{\lambda}}$ であるとする。すると、以下の図式は $u=s$ としても $u=t$ としても可換となるが、 $u$ の一意性より $s=t$ である。従って定義①の条件１が示された。

$$\xymatrix{ 1 \ar[d]^-u \ar[rd]^{\{s|_{U_{\lambda}}\}} & & \\ F(U) \ar[r]^-e & \displaystyle\prod_{\lambda\in\Lambda}F(U_{\lambda}) \ar@<+2pt>[r]^-{p} \ar@<-2pt>[r]_-{q} &\displaystyle\prod_{\alpha,\beta\in\Lambda}F(U_{\alpha}\cap U_{\beta}) }$$

そして、切断の族 $s_{\lambda}\in F(U_{\lambda})$ について、任意の $\alpha,\beta\in\Lambda$ で $s_{\alpha}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}} = s_{\beta}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}}$ であるならば、以下の図式が可換となる $s\in F(U)$ が存在し、この時 $s|_{U_{\lambda}} = s_{\lambda}$ となる。従って定義①の条件２も示された。

$$\xymatrix{ 1 \ar[d]^-s \ar[rd]^{\{s_{\lambda}\}} & & \\ F(U) \ar[r]^-e & \displaystyle\prod_{\lambda\in\Lambda}F(U_{\lambda}) \ar@<+2pt>[r]^-{p} \ar@<-2pt>[r]_-{q} &\displaystyle\prod_{\alpha,\beta\in\Lambda}F(U_{\alpha}\cap U_{\beta}) }$$

$\square$

位相空間上の層の切断を用いた定義を①、連続性を用いた定義を③とする。

(①$\Rightarrow$ ③)

位相空間 $X$ 上の前層 $F$ が定義①を満たすとする。$\mathcal{O}^{\mathrm{op}}_X$ の余完備充満部分圏 $J$ に対して

$$U = \varprojlim_{U_{\lambda}\in J}U_{\lambda} = \bigcup_{U_{\lambda}\in J}U_{\lambda}$$

とおくと$\{U_{\lambda}\}$ は $U\in\mathcal{O}^{\mathrm{op}}_X$ の開被覆になっている。まず、任意の$J$ の対象 $U_{\alpha}\supseteq U_{\beta}$ に対して $F$ が前層であることより以下は可換。

$$\xymatrix{ F(U) \ar[d]_{\rho^U_{U_{\alpha}}} \ar[rd]^{\rho^U_{U_{\beta}}} & \\ F(U_{\alpha}) \ar[r]_{\rho^{U_{\alpha}}_{U_{\beta}}} & F(U_{\beta}) }$$

ここで、任意の$J$ の対象 $U_{\alpha}\supseteq U_{\beta}$ に対して以下が可換となるような $A$ と $\{f_{U_{\lambda}}\}$ が存在したと仮定する。

$$\xymatrix{ A \ar[d]_{f_{U_{\alpha}}} \ar[rd]^{f_{U_{\beta}}} & \\ F(U_{\alpha}) \ar[r]_{\rho^{U_{\alpha}}_{U_{\beta}}} & F(U_{\beta}) }$$

任意の $x\in A$ に対して $s_{\lambda} = f_{U_{\lambda}}(x)$ とおくと、任意の $J$ の対象 $U_{\alpha},U_{\beta}$ に対して、 $J$ が余完備であることから $U_{\alpha}\cap U_{\beta}$ が存在し、以下の図式が共に可換となるから $$ s_{\alpha}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}} = s_{\beta}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}} = f_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}}(x)$$

$$\xymatrix{ A \ar[d]_{f_{U_{\alpha}}} \ar[rd]^{f_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}}} & & A \ar[d]_{f_{U_{\beta}}} \ar[rd]^{f_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}}} & \\ F(U_{\alpha}) \ar[r] & F(U_{\alpha}\cap U_{\beta}) & F(U_{\beta}) \ar[r] & F(U_{\alpha}\cap U_{\beta}) }$$

従って定義①の条件2より $s\in F(U)$ が存在して $s|_{U_{\lambda}} = s_{\lambda}$ となる。この対応 $x\mapsto s$ を $u$ とすると以下の図式が可換となり、条件１よりこのような $u$ は唯一つに定まる。従って $F(U) \cong \varprojlim_{U_{\lambda}\in J}F(U_{\lambda})$ である。

$$\xymatrix{ A \ar[d] \ar[rd] \ar@{.>}[r]^{\exists! u} & F(U) \ar[ld] \ar[d]\\ F(U_{\alpha}) \ar[r] & F(U_{\beta}) }$$

(③$\Rightarrow$ ①)

位相空間 $X$ 上の前層 $F$ が定義③を満たすとする。任意の開集合 $U\in\mathcal{O}^{\mathrm{op}}_X$ と開被覆 $U=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_{\lambda}$ に対して、いずれかの $U_{\lambda}$ に含まれる開集合全てを対象とする $\mathcal{O}^{\mathrm{op}}_X$ の充満部分圏を $J$ とする。混同を避ける為 $J$ の対象を $V_{\lambda}$ と表記する。$J$ が余完備である事は簡単にわかり

$$ F\left(\varprojlim_{V_{\lambda}\in J}V_{\lambda}\right) \cong \varprojlim_{V_{\lambda}\in J}F(V_{\lambda})$$

である。ここで、切断 $s,t\in F(U)$ について、全ての $\lambda\in\Lambda$ で $s|_{U_{\lambda}} = t|_{U_{\lambda}}$ であるとすると、 $F$ が前層であることにより任意の $V\in J$ に対して $s|_V = t|_V$ である。任意の $J$ の対象 $V_{\alpha}\supseteq V_{\beta}$ に対して、 以下は可換であるからこれは $1$ を頂点とする錐。

$$\xymatrix{ 1 \ar[d]_{s|_{V_{\alpha}}} \ar[rd]^-{s|_{V_{\beta}}} & \\ F(V_{\alpha}) \ar[r] & F(V_{\beta}) }$$

従って、任意の $V\in J$ について以下が可換となるような $u$ が一意に存在するが、これは $u=s$ としても $u=t$ としても可換。従って $s=t$ であるので定義①の条件１が示された。 $$\xymatrix{ 1 \ar[d]_{s|_V} \ar@{.>}[r]^-{\exists u} & F(U) \ar[ld]^{\rho^U_V} \\ F(V) & }$$

続いて、切断の族 $\{s_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ について、任意の $\alpha,\beta\in\Lambda$ で $s_{\alpha}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}} = s_{\beta}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}}$ であるとする。ここで各 $V\in J$ について $V\subseteq U_{\lambda}$ となる $U_{\lambda}$ を用いて $ t_V = s_{\lambda}|_V$ となる族 $\{t_V\}_{V\in J}$ を定める。 ここで $V\subseteq U_{\alpha}$ かつ $V\subseteq U_{\beta}$ の時には $V\subseteq U_{\alpha}\cap U_{\beta}$ であるので $$ s_{\alpha}|_V = s_{\beta}|_V $$ であるから $t_V$ は $\lambda$ の選び方によらず well-defined である。この時、任意の $V_{\alpha}\supseteq V_{\beta}$ に対して以下が可換となるので、

$$\xymatrix{ 1 \ar[d]_{t_{V_{\alpha}}} \ar[rd]^-{t_{V_{\beta}}} & \\ F(V_{\alpha}) \ar[r] & F(V_{\beta}) }$$

任意の $V\in J$ に対して、以下が可換となる $s \in F(U)$ がただ一つ存在する。そして、全ての $\lambda\in\Lambda$ に対して $$ s|_{U_{\lambda}} = \rho^U_{U_{\lambda}}(s) = t_{U_{\lambda}} = s_{\lambda}|_{U_{\lambda}} = s_{\lambda}$$ であるから定義①の条件２も示された。

$$\xymatrix{ 1 \ar[d]_{t_V} \ar@{.>}[r]^-{\exists s} & F(U) \ar[ld]^{\rho^U_V} \\ F(V) & }$$

$\square$

制限写像の性質から関手であることは明らかなので、層である事を示す。

$X$ の任意の開集合 $U$ とその開被覆 $U=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_{\lambda}$、切断(断面) $s,t\in\Gamma_{p}(U)$ について、 全ての $\lambda\in \Lambda$ で $s|_{U_{\lambda}} = t|_{U_{\lambda}}$ であるとする。

断面の定義より $s,t$ は連続写像 $U\rightarrow E$である。ここで任意の $x\in U$ について、 $x\in U_{\lambda}$ となる $\lambda$ が存在し、この時 $$ s(x) = s|_{U_{\lambda}}(x) = t|_{U_{\lambda}}(x) = t(x)$$ となる。よって全ての $x\in U$ で値が等しいので $s=t$ である。

続いて、$X$ の任意の開集合 $U$ と、その開被覆 $U=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_{\lambda}$、切断(断面)の族 $s_{\lambda}\in \Gamma_{p}(U_{\lambda})$ について、任意の $\alpha,\beta\in\Lambda$ で $s_{\alpha}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}} = s_{\beta}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}}$ であるとする。

この時、写像 $s:U\rightarrow E$ を$x\in U$ に対して $x\in U_{\lambda}$ となる $\lambda$ を用いて $s(x) = s_{\lambda}(x)$ と定める。 重なる部分で $s_{\lambda}$ の値は等しいので、これはwell-definedである。 また、各点 $x\in U$ の十分小さな開近傍では $s$ はいずれかの $s_{\lambda}$ と一致し、 $s_{\lambda}$ は連続写像であるから、 $s$ も連続写像である。 そして、各点 $x\in U$ である $\lambda$ について $$ p(s(x)) = p(s_{\lambda}(x)) = x \quad (x \in U_{\lambda})$$ となるので $p\circ s$ は包含写像 $U\rightarrow X$となる。したがって $s\in\Gamma_{p}(U)$ である。

$\square$

任意の開集合 $U\in\mathcal{O}_X$ に対して $\Lambda_F^{-1}(U)$ は $x\in U$ の上の芽全ての集合であるので $$ \Lambda_F^{-1}(U) = \bigcup_{V\subseteq U, s\in F(V)} s(V) $$ と表せる。これは $E_F$ の開基の元の合併であるから開集合であるので $\Lambda_F$ は連続。 $\square$

$E_F$ の任意の開基の元 $s(U)$ について $\Lambda_F|_{s(U)}: s(U)\rightarrow U\quad(\because\Lambda_F(s(U))=U)$ が同相写像であることを示せば十分である。

$s$ が固定されているので、 $\Lambda_F|_{s(U)}(s_x)=x$ の全単射性は明らかである。 また、$\Lambda_F$ が連続写像であるので、その制限である $\Lambda_F|_{s(U)}$ も連続である。 よって、$\left(\Lambda_F|_{s(U)}\right)^{-1}$ の連続性を示せば良い。

任意の開集合 $W\subseteq s(U)$ について $\left(\left(\Lambda_F|_{s(U)}\right)^{-1}\right)^{-1}(W) = \Lambda_F|_{s(U)}(W)$ が開集合である事を示せば良い。ここで $s(U)$ の定義からある $X$ の開集合 $V\subseteq U$ が存在して $W=s(V)$ と表される事が分かるので $$\Lambda_F|_{s(U)}(W) = \Lambda_F|_{s(U)}(s(V)) = \Lambda_F(s(V)) = V$$ である。よって$\left(\left(\Lambda_F|_{s(U)}\right)^{-1}\right)^{-1}(W)$ は $X$ の開集合なので $\left(\Lambda_F|_{s(U)}\right)^{-1}$ は連続。 $\square$

$x$ の開近傍 $U,V$ と切断 $s\in F(U), t\in F(V)$ に対して $s_x = t_x$ であるとする。この時、 $x$ の開近傍 $W\subseteq U\cap V$ が存在して $s|_W = t|_W$ である。 ここで $\theta: F\rightarrow G$ は自然変換であるから、以下の図式が可換となる。 $$\xymatrix{ F(U) \ar[d]_{\rho^U_W} \ar[r]^{\theta_U} & G(U) \ar[d]^{\rho^U_W} \\ F(W) \ar[r]^{\theta_W} & G(W) }$$ 従って $ \theta_U(s)|_W = \theta_W(s|_W) $である。同様に $\theta_V(t)|_W = \theta_W(t|_W)$ であるので $s|_W = t|_W$ より $$ \theta_U(s)|_W = \theta_V(t)|_W$$ である。よって $\theta_U(s)_x = \theta_V(t)_x$ であるので、写像 $\Lambda_{\theta}$ は $U$ 及び $s$ の選び方に寄らずwell-definedである。 $\Lambda_F = \Lambda_G\circ \Lambda_{\theta}$ である事は簡単に分かるので $\Lambda_{\theta}$ は 射 $\Lambda_F\rightarrow\Lambda_G$ である。 $\Lambda$ の関手性は明らか。 $\square$

$E_F$ の任意の開基の元 $t(V)$ に対して $\sigma_s^{-1}(t(V))$ が $X$ の開集合であることを示せばよい。 $$ x \in \sigma_s^{-1}(t(V)) \Leftrightarrow x\in U\cap V, s_x = t_x \Leftrightarrow \text{$x$ の開近傍 $W\subseteq U\cap V$が存在して} s|_W = t|_W$$ であるから $$ \sigma_s^{-1}(t(V)) = \bigcup_{W\subseteq U\cap V, s|_W = t|_W} W$$ と表せる。これは $X$ の開集合の合併であるから開集合である。断面であるのは明らか。 $\square$

関手 $F\in\mathbf{PSh}(X)$ とバンドル $(p:A\rightarrow X)\in\mathbf{Top}/X$ に対して、自然な同型 $$(\mathbf{Top}/X)(\Lambda_F, p) \cong (\mathbf{PSh}(X))(F, \Gamma_p)$$ が存在する事を示せば良い。

(左から右への写像)

左辺から右辺への対応を $$ \phi: (f:\Lambda_F\rightarrow p) \mapsto \{F(U)\ni s\mapsto f\circ\sigma_s \in\Gamma_p(U)\}_{U\in\mathcal{O}_X}$$ と定める。これが正しく写像である事を確認する。

まず、 $f$ は以下が可換となる連続写像であったから、任意の $s_x\in E_F, s\in F(U)$ に対して $p\circ f(s_x) = x$ である。 $$\xymatrix{ E_F \ar[r]^{f} \ar[rd]_{\Lambda_F} & A \ar[d]^{p}\\ & X }$$ この時 $\sigma_s: U\rightarrow E_F$ であったから $f\circ\sigma_s: U\rightarrow A$ であって、任意の $x\in U$ に対して $$ p\circ (f\circ\sigma_s)(x) = p\circ f(s_x) = x $$ となるので $p\circ(f\circ\sigma_s): U\rightarrow X$ は包含写像。従って $f\circ\sigma_s\in\Gamma_p(U)$ である。

続いて $\phi(f)$ が自然変換 $F\rightarrow\Gamma_p$ となることを確認する。以下の可換図式において任意の $s\in F(U)$ に対して時計回りに辿ると $ (f\circ\sigma_s)|_V$ 反時計回りに辿ると $ f\circ\sigma_{s|_V} $ $$\xymatrix{ F(U) \ar[d]_{\rho^U_V} \ar[r]^{\phi(f)_U} & \Gamma_p(U) \ar[d]^{\rho^U_V} \\ F(V) \ar[r]^{\phi(f)_V} & \Gamma_p(V) }$$ ここで $x \in V$ に対して $ (f\circ\sigma_s)|_V(x) = f(s_x), \quad (f\circ\sigma_{s|_V})(x) = f((s|_V)_x) $ であるが $s_x = (s|_V)_x$ であるので これらは等しい。従って、上の図式は可換であり $\phi(f)$ は自然変換 $F\rightarrow\Gamma_p$ である。 以上より $\phi$ は正しく左辺から右辺への写像である。

(右から左への写像)

右辺から左辺への対応を $x$ の開近傍 $U$、 切断 $s\in F(U)$ を用いて $$ \psi: (\theta:F\rightarrow\Gamma_p)\mapsto (E_F\ni s_x \mapsto \theta_U(s)(x) \in A)$$ と定める。これが正しく写像である事を示す。

まず 関手 $\Lambda$ の証明で述べた様に $\theta_U(s)$ は $U$ と $s$ の選び方に寄らずwell-definedである。 また、 $\theta_U:F(U)\rightarrow \Gamma_p(U)$ であるので $\theta_U(s) \in\Gamma_p(U)$ すなわち $\theta_U(s)$ は $p$ の断面 $U\rightarrow A$ であるので $\theta_U(s)(x) \in A$ である。

続いて写像 $h: E_F\ni s_x \mapsto \theta_U(s)(x) \in A$ が連続写像である事を示す。その為には、 $E_F$ の任意の開基の元 $s(U)$ に対して $ h|_{s(U)}: s(U) \rightarrow A$ が連続である事を示せば十分である。ここで

$$ h|_{s(U)}(s_x) = \theta_U(s)(x) = \theta_U(s)\circ \Lambda_F|_{s(U)}(s_x) $$

であり、 $\Lambda_F|_{s(U)}$ は連続写像 $\Lambda_F:E_F\rightarrow X$ の制限であるので連続。また $\theta_U(s)\in\Gamma_p(U)$ なのでこれも連続。 従って、これらの合成である $h|_{s(U)}$ も連続である。

(全単射であること)

続いて任意の $f:\Lambda_F\rightarrow p$ と $s_x\in E_f$ に対して $$ \psi\circ\phi(f) = \psi\left(\{s\mapsto f\circ\sigma_s\}_U\right) = (s_x \mapsto f\circ\sigma_s(x)) = (s_x \mapsto f(s_x)) = f $$ であり、任意の $\theta:F\rightarrow\Gamma_p$ に対して $$ \begin{align*} \phi\circ\psi(\theta) &= \phi\left(s_x\mapsto\theta_U(s)(x)\right) \\ &= \{t\mapsto ((s_x \mapsto \theta_U(s)(x))\circ\sigma_t)\}_V \\ &= \{t\mapsto (x\mapsto ((s_x \mapsto \theta_U(s)(x))\circ\sigma_t)(x))\}_V \\ &= \{t\mapsto (x\mapsto (s_x \mapsto \theta_U(s)(x))(t_x))\}_V \\ &= \{t\mapsto (x\mapsto \theta_V(t)(x)\}_V \\ &= \{t\mapsto \theta_V(t)\}_V \\ &= \{\theta_V\}_V \\ &= \theta \end{align*} $$ であるので $\phi, \psi$ は全単射である。

(自然性)

関手 $F,G\in\mathbf{PSh}(X)$ と自然変換 $\xi: G\rightarrow F$ 及び、 バンドル $(p:A\rightarrow X), (q: B\rightarrow X) \in \mathbf{Top}/X$ 及び、射 $f:p\rightarrow q$ に対して、以下が可換である事を示せば良い。

$$\xymatrix{ (\mathbf{Top}/X)(\Lambda_F, p) \ar[r]^{\phi} \ar[d]_{(\mathbf{Top}/X)(\Lambda_{\xi}, f)} & (\mathbf{PSh}(X))(F, \Gamma_p) \ar[d]^{(\mathbf{PSh}(X))(\xi, \Gamma_f)}\\ (\mathbf{Top}/X)(\Lambda_G, q) \ar[r]^{\phi} & (\mathbf{PSh}(X))(G, \Gamma_q) }$$

左上に $h:\Lambda_F \rightarrow p$ を取り、時計回りに辿ると

$$\Gamma_{f}\circ\{ s \mapsto h\circ\sigma_s \}_U\circ\xi = \{ s \mapsto f\circ h\circ\sigma_{\xi_U(s)} \}_U $$

反時計回りに辿ると

$$ \phi(f\circ h\circ\Lambda_{\xi}) = \{s\mapsto f\circ h\circ\Lambda_{\xi}\circ\sigma_s\}_U $$

という自然変換 $G\rightarrow\Gamma_q$ を得る。ここで任意の$X$の開集合 $U$、切断 $t\in G(U)$、 $x\in U$ に対して $$ (s \mapsto f\circ h\circ\sigma_{\xi_U(s)})(t)(x) = f\circ h\circ\sigma_{\xi_U(t)}(x) = f\circ h\left(\xi_U(t)_x\right) $$ $$ (s\mapsto f\circ h\circ\Lambda_{\xi}\circ\sigma_s)(t)(x) = f\circ h\circ\Lambda_{\xi}(t_x) = f\circ h\left(\xi_U(t)_x\right) $$ であるから、先ほどの図式は可換。

以上。 $\square$

$X$ を位相空間とする。 定義4.6 より、任意のバンドル $p$ に対して $\Gamma_p$ は層であるので $\Gamma:\mathbf{Top}/X\rightarrow\mathbf{PSh}(X)$ を $\mathbf{Etale}(X)$ に制限したものは、 関手 $\Gamma:\mathbf{Etale}(X)\rightarrow\mathbf{Sh}(X)$ となる。

同様に、 命題4.12 より、任意の前層 $F$ に対して $\Lambda_F$ はエタールバンドルであるので $\Lambda:\mathbf{PSh}(X)\rightarrow\mathbf{Top}/X$ を $\mathbf{Sh}(X)$ に制限したものは、 関手 $\Lambda:\mathbf{Sh}(X)\rightarrow\mathbf{Etale}(X)$ となる。

($\Gamma\Lambda\cong 1_{\mathbf{Sh}(X)}$の証明)

随伴の $\Lambda\dashv\Gamma$ の単位射 $\eta: 1_{\mathbf{Sh}(X)}\rightarrow\Gamma\Lambda$ が同型であることを示す。 すなわち、任意の層 $F$ に対して自然変換 $\eta_F: F\rightarrow\Gamma_{\Lambda_F}$ の各成分が同型射であること、 すなわち、任意の$X$ の開集合 $U$ に対して $(\eta_F)_U: F(U)\rightarrow\Gamma_{\Lambda_F}(U)$ が全単射であることを示す。

上で説明したように、切断 $s\in F(U)$ に対して $(\eta_F)_U(s) = \sigma_s$ である。まず、これが全射であることを示す。 $f\in\Gamma_{\Lambda_F}(U)$ とすると、 これは連続写像 $f:U\rightarrow E_F$ であって $\Lambda_F\circ f:U\rightarrow X$ が包含写像となるようなものである。

この時 $f(U)$ は $E_F$ の開集合であることに注意する。何故ならば、 $\Lambda_F$ が局所同相であることより、任意の $x\in U$ において、十分小さい開近傍 $x\in V\subseteq U$ を取ると $f|_V: V\rightarrow f(V)$ は同相写像となる。同相写像は開集合を開集合に移すから $f(V)$ は $E_F$ の開集合である。 従って、これらの合併である $f(U)$ も $E_F$ の開集合である。すなわち、 $f(U)$ は $E_F$ の開基の元の合併として表せる。 $$ f(U) = \bigcup_{\lambda\in L,V_{\lambda}\subseteq U, s_{\lambda}\in F(V_{\lambda})} s_{\lambda}(V_{\lambda}) $$ ここで、任意の $x\in V_{\alpha}\cap V_{\beta}\quad (\alpha,\beta\in L)$ について $(s_{\alpha})_x = (s_{\beta})_x = f(x)$ であるから $s_{\alpha}|_{V_{\alpha}\cap V_{\beta}} = s_{\beta}|_{V_{\alpha}\cap V_{\beta}}$。従って $F$ が層である事より、 $s_{\lambda}$ を貼り合わせた $s\in F(U)$ が一意に存在する。よって $ f(x) = s_x$ すなわち $f=\sigma_s$ と表す事ができるので $(\eta_F)_U(s) = f$。すなわち、$(\eta_F)_U$ は全射である。

また、$s,t\in F(U)$ に対して $$(\eta_F)_U(s) = (\eta_F)_U(t) \Rightarrow \sigma_s = \sigma_t \Rightarrow \forall x\in U. s_x = t_x \Rightarrow s=t$$ であるので $(\eta_F)_U$ は単射である。

($\Lambda\Gamma\cong 1_{\mathbf{Etale}(X)}$の証明)

随伴の $\Lambda\dashv\Gamma$ の余単位射 $\epsilon: \Lambda\Gamma\rightarrow 1_{\mathbf{Etale}(X)}$ が同型であることを示す。 すなわち、任意のエタールバンドル $p:A\rightarrow X$ に対して、 $\epsilon_p: \Lambda_{\Gamma_p} \rightarrow p$ が同型であること、 すなわち、$\epsilon_p: E_{\Gamma_p}\rightarrow A$ が同相写像であることを示す。 $\epsilon_p$ の連続性は定義より明らかなので、$\epsilon_p$ が全単射であることと $\epsilon_p^{-1}$ が連続である事を示ば良い。

上で説明したように、芽 $s_x\in E_{\Gamma_p}\ (x\in U, s\in \Gamma_p(U))$ に対して $\epsilon_p(s_x) = s(x)$ である。また $s:U\rightarrow A$ は $p$ の断面だから $p(s(x)) = x$ である。

任意の $y\in A$ に対して $p$ はエタールであるから $y$ の開近傍 $V$ で $p|_V$ が同相写像であるようなものが存在。ここで $U=p(V), x=p(y)$ と置く。 $(p|_V)^{-1}: U\rightarrow A$ は $p$ の断面だから $(p|_V)^{-1}\in\Gamma_p(U)$。この時 $$ \epsilon_p\left((p|_V)^{-1}_x\right) = (p|_V)^{-1}(x) = y$$ となる。よって $\epsilon_p$ は全射。

また、芽 $s_x, t_y\ (x\in U, s\in \Gamma_p(U), y\in V, t\in\Gamma_p(V))$ について$\epsilon_p(s_x) = \epsilon_p(t_y)$であるとすると $s(x)=t(y)\Rightarrow p\circ s(x)=p\circ t(y) \Rightarrow x = y$ である。続いて $s_x, t_x$ の一致を示す。 $p$ はエタールであるから、 $s(x)=t(x)$ の十分小さな開近傍 $W\subseteq A$ を取ると $p|_W$ は同相写像。 $s,t$ は連続写像であるので十分小さな $x$ の開近傍 $W’$ を取ると $s(W’)\subseteq W, t(W’)\subseteq W$ となるようにできる。 $s,t$ は $p$ の断面であるので、任意の $x’\in W’$ について $p\circ s(x’) = p\circ t(x’)$ であるが $p|_W$ が同相であることから $s(x’)=t(x’)$ である。 従って $s_{W’}=t_{W’}$ であるので $s_x = t_x$ となる。よって $\epsilon_p$ は単射。

最後に、任意の $E_{\Gamma_p}$ の開基 $s(U)$ に対して $$ \epsilon_p(s(U)) = \{s(x) | x\in U\} = s(U)$$ である。 $p$ が局所同相であることより、その断面 $s$ も局所同相であるから $s(U)$ は $A$ の開集合。よって $\epsilon_p^{-1}$ も連続。

以上より $$ \mathbf{Etale}(X) \simeq \mathbf{Sh}(X) $$ である。 $\square$

自然変換 $\theta: F\rightarrow G$ より $\Gamma_{\Lambda_{\theta}}: \Gamma_{\Lambda_F} \rightarrow \Gamma_{\Lambda_G}$ を得る。ここで $G$ は層であるから $\eta_G: G\rightarrow\Gamma_{\Lambda_G}$ は同型射なので $\eta_G^{-1}$ が存在し、 $$\phi = \eta_G^{-1}\circ\Gamma_{\Lambda_{\theta}}$$ という射$\Gamma_{\Lambda_F}\rightarrow G$ が存在する。この時、任意の切断 $s\in F(U)$ について

$$ (\phi\circ\eta_F)_U(s) = \phi_U(\sigma_s = (\eta_G^{-1}\circ\Gamma_{\Lambda_{\theta}})_U(\sigma_s) = (\eta_G^{-1})_U(\Lambda_{\theta}\circ\sigma_s) = (\eta_G^{-1})_U(x\mapsto \theta_U(s)_x) = \theta_U(s) $$ である。従って $\phi\circ\eta_F = \theta$である。

ここで $\phi:\Gamma_{\Lambda_F}\rightarrow G$ が $\phi\circ\eta_F = \theta$ を満たすとする。 $f\in\Gamma_{\Lambda_F}(U)$ とすると、これは $\Lambda_F$ の断面 $f: U\rightarrow E_F$ であるが、 $\Lambda_F:E_F\rightarrow X$ は局所同相であるので、 $f$ も局所同相。すると $f(U)$ は開集合であるので、適当な開基の元の合併 $$ f(U) = \bigcup_{\lambda} s_{\lambda}(U_{\lambda})\quad (s_{\lambda}\in F(U_{\lambda})$$ で表せる。この $f(U)$ の開被覆を十分細かくとれば、任意の $\lambda$ に対して $ p|_{s_{\lambda}(U_{\lambda})}: s_{\lambda}(U_{\lambda}) \rightarrow U_{\lambda}$ は同相写像であって $(p|_{s_{\lambda}(U_{\lambda})})\circ f|_{U_{\lambda}}$ は恒等写像であるので $ f|_{U_{\lambda}} = (p|_{s_{\lambda}(U_{\lambda})})^{-1} = \sigma_{s_{\lambda}} $ である。

ここで $(\phi\circ\eta_F)_{U_{\lambda}} = \theta_{U_{\lambda}}$ に $s_{\lambda}$ を代入すると $\phi_{U_{\lambda}}(\sigma_{s_{\lambda}}) = \theta_{U_{\lambda}}(s_{\lambda})$ であり、 $\phi$ は自然変換であるので $$\phi(f)|_{U_{\lambda}} = \phi_{U_{\lambda}}(f|_{U_{\lambda}}) = \theta_{U_{\lambda}}(s_{\lambda})$$ である。従って、任意の $\alpha,\beta$ に対して $$ (\theta_{U_{\alpha}}(s_{\alpha}))|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}} = (\theta_{U_{\beta}}(s_{\beta}))|_{U_{\beta}\cap U_{\beta}} = \phi(f)|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}} $$

である。よって $G$ は層であるから $\{\theta_{U_{\lambda}}(s_{\lambda})\}$ を貼り合わせた切断 $t\in G(U)$ が一意に存在する。よって任意の $\lambda$ で $$\phi(f)|_{U_{\lambda}} = \theta_{U_{\lambda}}(s_{\lambda}) = t|_{U_{\lambda}}$$ であるから $\phi(f) = t$ である。従って、このような $\phi$ は唯一つに定まる。 $\square$

まず $\mathbf{PSh}(X)$ の圏は双完備であることに注意する。

(極限の存在)

$J$ を小圏とする。 $F_j\ (j\in J)$ は層であるので、 $\mathcal{O}_X^{\mathrm{op}}$ の任意の余完備充満部分圏 $K$ に対して $$\begin{align*} \overset{\scriptsize\mathbf{PSh}(X)}{\varprojlim_{j\in J}}i(F_j)\left(\varprojlim_{U_k\in K}U_k\right) & \cong \overset{\scriptsize\mathbf{PSh}(X)}{\varprojlim_{j\in J}}\varprojlim_{U_k\in K} i(F_j)(U_k) (\because\text{ 位相空間上の層(連続性利用) })\\ & \cong \varprojlim_{U_k\in K}\overset{\scriptsize\mathbf{PSh}(X)}{\varprojlim_{j\in J}}i(F_j)(U_k) (\because\text{極限は交換できる}) \\ \end{align*}$$ が成り立つ。ここで、極限は対角関手の右随伴( 極限に関する随伴 )であり、右随伴は極限を保存することから、極限の交換が可能である事を利用している。 従って、再び 位相空間上の層(連続性利用) より $\overset{\scriptsize\mathbf{PSh}(X)}{\varprojlim_{j\in J}}i(F_j)$ は層である。 よって $\mathbf{Sh}(X)$ が $\mathbf{PSh}(X)$ の充満部分圏であることより

$$ i\left(\overset{\scriptsize\mathbf{Sh}(X)}{\varprojlim_{j\in J}} F_j\right) \cong \overset{\scriptsize\mathbf{PSh}(X)}{\varprojlim_{j\in J}} i(F_j)$$ である。

(余極限の存在)

$J$ を小圏とする。任意の $\{i(F_j)\}$ を底とする錐 $\{i(F_j)\rightarrow G\}$ に対して、以下が可換となる 射 $\overset{\scriptsize\mathbf{PSh}(X)}{\varinjlim_{j\in J}} i(F_j) \rightarrow i(G)$ が唯一つ存在する。 $$\xymatrix{ \overset{\scriptsize\mathbf{PSh}(X)}{\varinjlim_{j\in J}} i(F_j) \ar@{.>}[r]^-{\exists!} & i(G)\\ i(F_j) \ar[u] \ar[ur] }$$

この全体を $\Gamma\Lambda$ で $\mathbf{Sh}(X)$ に移すと、層 $G$ に対しては $\Gamma\Lambda(G)\cong G$ であるから、 $\mathbf{Sh}(X)$ における $\{F_j\}$ とする錐の圏の射が得られる。

$$\xymatrix{ \Gamma\Lambda\left(\overset{\scriptsize\mathbf{PSh}(X)}{\varinjlim_{j\in J}} i(F_j)\right) \ar@{.>}[r]^-{\exists u} & G\\ F_j \ar[u] \ar[ur] }$$

ここで $\Gamma\Lambda\dashv i$ であるから、自然な同型 $$ \mathbf{Sh}(X)(\Gamma\Lambda(H), G) \cong \mathbf{PSh}(X)(H, i(G))$$ が存在する。よって $u$ が一意であることが分かるから $\Gamma\Lambda\left(\overset{\scriptsize\mathbf{PSh}(X)}{\varinjlim_{j\in J}} i(F_j)\right)$ が $\mathbf{Sh}(X)$ における余極限であることが示された。 $\square$

$G$ を層 $F$ の部分関手であるとする。

(必要性)

$G$ が層であるとする。 $ s\in G(U) \Rightarrow \forall\lambda. s|_{U_{\lambda}}\in G(U_{\lambda})$ は明らか。$\forall\lambda. s|_{U_{\lambda}}\in G(U_{\lambda})$ であるとすると、$G$ は層であるから これらを貼り合わせた切断 $t\in G(U)$ が存在する。 ここで $G(U)\subseteq F(U)$ の部分集合であるから $t\in F(U)$ であるので、貼り合わせの一意性より $s=t$ である。

(十分性)

任意の断面 $s\in F(U)$ と開被覆 $U=\bigcup_{\lambda}U_{\lambda}$ に対して $$ s\in G(U) \Leftrightarrow \forall\lambda. s|_{U_{\lambda}}\in G(U_{\lambda})$$ が成り立つとする。

任意の開被覆$U=\bigcup_{\lambda}U_{\lambda}$ と断面 $s,t\in G(U)$ について、全ての $\lambda$ で$s|_{U_{\lambda}}=t|_{U_{lambda}}$ であるとする。 この時 $G(U)\subseteq F(U)$ であるので $F$ が層である事から $s=t$ である。

また、任意の開被覆$U=\bigcup_{\lambda}U_{\lambda}$ と切断の族 $s_{\lambda}\in G(U_{\lambda})$ について、任意の $\alpha,\beta$ で $s_{\alpha}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}} = s_{\beta}|_{U_{\alpha}\cap U_{\breta}}$ であるとする。この時、これらの切断は $F(U_{\lambda})$ の元でもあるので $F$ が層であることより、ある切断 $s\in F(U)$ が存在して $s|_{U_{\lambda}} = s_{\lambda} \in G(U_{\lambda})$ である。そして、仮定した条件より $s \in G(U)$ である。

従って $G$ は貼り合わせの公理を満たすので層である。 $\square$

$1$ の部分層 $F \xhookrightarrow{} 1$ の$U$ 成分は $F(U)\subseteq 1\quad(\text{一点集合})$ を満たすので、各開集合 $U$ について $F(U)=1$ であるか $F(U)=\emptyset$ であるかのいずれかである。そこで

$$\phi(F) = \bigcup\{U \in\mathcal{O}_X \mid F(U)\neq\emptyset \}$$

とすると写像 $\phi: \mathrm{Sub}_{\mathbf{Sh}(X)}(1) \rightarrow \mathcal{O}_X $ が得られる。

また、

$$ \psi(U)(V) = \begin{cases} 1 & (V\subseteq U) \\ \emptyset & (V\not\subseteq U) \end{cases}$$

と定めると写像 $\psi: \mathcal{O}_X \rightarrow\mathrm{Sub}_{\mathbf{Sh}(X)}(1)$ が得られる。 $\phi\circ\psi = 1, \psi\circ\phi= 1$ は容易に示す事ができる。 $\square$