圏(category) $\mathcal{C}$ とは 対象(object) の類 $\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ と各対象 $a, b$ ごとに定められた 射(arrow) の類 $\mathcal{C}(a,b)$ からなる。 $\mathcal{C}(a,b)$ の事を、hom類(hom-class) (集合である場合には hom集合(hom-set)) と呼び、$\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(a,b)$ と書くこともある。また、射 $f\in\mathcal{C}(a, b)$ を $f:a\rightarrow b$ と書いたり、以下のような矢印の図式で表したりする。 $$\xymatrix{ a \ar[r]^f & b } $$ $a$ を $f$ の ドメイン(domain) と呼び $\mathrm{dom}(f)=a$ と書く。同様に、 $b$ を コドメイン(codomain) と呼び $\mathrm{cod}(f)=b$ と書く。

そして、以下を満たす。

1. 任意の射 $f:a\rightarrow b, g:b\rightarrow c$ について、これらの 合成(composition) $g\circ f: a\rightarrow c$ が存在する。 $$\xymatrix{ a \ar[r]_f \ar@/^1pc/[rr]^{g\circ f} & b \ar[r]_g & c }$$
2. 射の合成は結合的である。(よって 括弧を外して $h\circ g\circ f$ と書いても問題ない) $$ h\circ (g\circ f) = (h\circ g)\circ f$$
3. 各対象 $a$ について 恒等射(identity arrow) $1_a:a\rightarrow a$ が存在し、任意の $f: a\rightarrow b$ について以下を満たす。 $$ f\circ 1_a = 1_b\circ f = f$$

射の類が全て集合である圏を 局所小圏(locally small category)、対象の類も射の類も集合である圏を 小圏(small category) という。

任意の対象 $a$ に対して、恒等射 $1_a$ は一意に定まる。

$f: a\rightarrow b,\ g: b\rightarrow a$ が $$ g\circ f=1_a,\ f\circ g=1_b $$ を満たす時、 $f,g$ を 同型射(isomorphism) という。 $g$ を $f$ の 逆射(inverse morphism) と呼び $f^{-1}$ と書く。

$$ \xymatrix { a \ar@(ul,dl)[]_{1_a} \ar@/^/[rr]|{f} && b \ar@/^/[ll]|{g} \ar@(ur,dr)[]^{1_b} } $$

対象 $a,b$ の間に同型射が存在する時これらは 同型(isomorphic) であるといい、 $$ a\cong b $$ と書く。

$f: a\rightarrow b$ が同型射の時、その逆射は一意に定まる。

圏 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ に対して $\mathcal{C},\mathcal{D}$ の対象の組 $(a,b)$ を対象とし、射の組 $(f,g)$ を射とする圏を 積圏(product category) といい $\mathcal{C}\times\mathcal{D}$ 書く。射の合成は要素毎に行う。

圏 $\mathcal{C}$ の対象の類の部分類、射の類の部分類からなり圏の条件を満たす圏 $\mathcal{D}$ を $\mathcal{C}$ の 部分圏(subcategory) という。

任意の対象 $a,b\in\mathcal{D}$ に対して $\mathcal{D}(a,b) = \mathcal{C}(a,b)$ である部分圏 $\mathcal{D}$ を 充満部分圏(full subcategory) という。

圏 $\mathcal{C}$ の 双対圏(dual category) $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$とは $$ \mathrm{Ob}(\mathcal{C}^{\mathrm{op}}) = \mathrm{Ob}(\mathcal{C}),\ \mathcal{C}^{\mathrm{op}}(a,b)=\mathcal{C}(b,a) $$

であり $f\in\mathcal{C}^{\mathrm{op}}(a,b), g\in\mathcal{C}^{\mathrm{op}}(b,c)$ に対してその合成を $$ g\circ_{\mathcal{C}^\mathrm{op}}f = f\circ_{\mathcal{C}} g $$ と定めたもの。${\mathcal{C}^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}}$ は $\mathcal{C}$ と一致する。

ある命題が圏 $\mathcal{C}$ で真であるとき、射の向きを全て逆にし合成の順序を入れ替えて得られる 双対命題(dual statement) は圏 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ でも真である。

射 $m: a\rightarrow b$ が モノ射(monomorphism) もしくは モニック射(monic) であるとは、任意の対象 $c$ と射 $f,g: c\rightarrow a$ について $$ m\circ f = m\circ g \quad\Rightarrow\quad f=g $$ が成り立つことである。この性質を$m$は 左簡約可能(left cancelable) であるという。

$$ \xymatrix { c \ar@<2pt>[r]^{f} \ar@<-2pt>[r]_{g} & a \ar[r]^{m} & b } $$

ある射がモノ射である事を $a\xhookrightarrow{} b$ という矢印で書くこともある。

射 $e: a\rightarrow b$ が エピ射(epi-morphism) もしくは エピック射(epic) であるとは、任意の対象 $c$ と射 $f,g: b\rightarrow c$ について $$ f\circ e = g\circ e \quad\Rightarrow\quad f=g $$ が成り立つことである。この性質を$e$は 右簡約可能(right cancelable) であるという。

$$ \xymatrix { a \ar[r]^{e} & b \ar@<2pt>[r]^{f} \ar@<-2pt>[r]_{g} & c } $$

ある射がエピ射である事を $a\twoheadrightarrow b$ という矢印で書くこともある。

$\mathbf{Set}$ おいてモノ射とは単射の事である。

$\mathbf{Set}$ おいてエピ射とは全射の事である。

$\mathbf{Set}$ おいて同型射と全単射は一致する。

同型射はモノかつエピである。

圏 $\mathcal{C}$ から圏 $\mathcal{D}$ への 関手(functor) もしくは 共変関手(covariant functor) $F$ とは 写像 $F:\mathrm{Ob}(\mathcal{C})\rightarrow\mathrm{Ob}(\mathcal{D})$ と任意の対象 $a,b\in\mathcal{C}$ に対する写像 $F:\mathcal{C}(a,b)\rightarrow \mathcal{D}(F(a), F(b))$ であり

• 任意の対象 $a\in\mathcal{C}$ について $F(1_a)=1_{F(a)}$
• 任意の$f:a\rightarrow b, g:b\rightarrow c$ について $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$

を満たすものである。

小圏を対象、関手を射とすると(大きな)圏となる。これを $\mathbf{Cat}$ と書く。

$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ から $\mathcal{D}$ への関手 $F:\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\rightarrow\mathcal{D}$ を、$\mathcal{C}$ から $\mathcal{D}$ への 反変関手(contravariant functor) という。

関手 $\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ であって、$\mathcal{C}$ の全ての対象をある対象 $a\in\mathcal{D}$ に、射を $1_a$ に移すものを 定数関手(constant functor) という。対象 $a$ についての定数関手を同じ記号を用いて $a:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ と書くこともある。

圏 $\mathcal{J}$ から $\mathcal{C}$ への関手 $F:\mathcal{J}\rightarrow\mathcal{C}$ を形が $\mathcal{J}$ である $\mathcal{C}$ における 図式(diagram) という。このとき、$\mathcal{J}$ を 添字圏(index category) という。

関手 $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ について

• $F: \mathcal{C}(a,b)\rightarrow\mathcal{D}(F(a),F(b))$ が全ての$a,b\in\mathcal{C}$ について単射の時 $F$ は 忠実(faithful) であるという。
• $F: \mathcal{C}(a,b)\rightarrow\mathcal{D}(F(a),F(b))$ が全ての$a,b\in\mathcal{C}$ について全射の時 $F$ は 充満(full) であるという。
• 任意の$b\in\mathcal{D}$ についてある $a\in\mathcal{C}$ が存在して $F(a)\cong b$ となるとき $F$ は 本質的全射(essentially surjective) であるという。

$F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ が忠実であるならば、$F(f)$ がモノならば $f$ もモノ。同様に $F(f)$ がエピならば $f$ もエピ。

$F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ が忠実充満であるならば、任意の $a,b\in\mathcal{C}$ について $$ a\cong b \Leftrightarrow F(a)\cong F(b)$$

関手 $F,G:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ に対して、$F$ から $G$ への自然変換(natural transformation) $\phi:F\rightarrow G$ とは、$\mathcal{D}$の射の族 $\{\phi_a: F(a)\rightarrow G(a)\}_{a\in\mathcal{C}}$ であり、任意の $\mathcal{C}$ の射 $f:a\rightarrow b$ に対して、以下の図式が可換となるものである。 $\phi_a$ を $\phi$ の $a$コンポーネント($a$-component) という。

$$\xymatrix{ F(a) \ar[r]^{\phi_a} \ar[d]_{F(f)} & G(a) \ar[d]^{G(f)} \\ F(b) \ar[r]^{\phi_b} & G(b) }$$

$\phi_a$ が全て同型射であるとき $\phi$ を 自然同型(natural isomorphism) もしくは 自然同値(natural equivalence) という。また自然同型 $\phi:F\rightarrow G$ が存在する時 $F\cong G$ と書く。

圏 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ について、関手 $\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{D}$ を対象とし、それらの間の自然変換を射とする圏を 関手圏(functor category) といい、 $[\mathcal{C},\mathcal{D}]$ や $\mathcal{D}^{\mathcal{C}}$ と書く。

$\mathbf{0}$ を空圏、$\mathbf{1}$ を対象が一つで恒等射のみの圏をすると、任意の圏 $\mathcal{C}$ について $$ \mathcal{C}^\mathbf{0}\cong\mathbf{1},\quad\mathcal{C}^\mathbf{1}\cong\mathcal{C}$$

1つ目の等式は、空集合から任意の集合への関数が 空関数(empty function) の唯一つしか存在しないことによる。2つ目は関手 $\mathbf{1}\rightarrow\mathcal{C}$ と $\mathcal{C}$ の対象が一対一に対応することから分かる。

対象が2つで、恒等射と対象の間に射が一本あるような圏 $\mathbf{2}$ から圏 $\mathcal{C}$ への関手のなす圏 $\mathcal{C}^\mathbf{2}$ を 射圏(arrow category) といい$\mathcal{C}^{\rightarrow}$ と書く。

関手 $\mathbf{2}\rightarrow\mathcal{C}$ は $\mathcal{C}$ の射と一対一対応する。

$$\xymatrix{ 0 \ar[d]^{}="x" & a \ar[d]_{}="y"^f \\ 1 & b \ar@{~>} "x";"y" }$$

従って、射圏とは射が対象で、可換な四角形が射となるような圏の事である。 $$\xymatrix{ a \ar[d]^f \ar[r]^p & c \ar[d]^g \\ b \ar[r]_q & d \\ }$$

関手圏 $\mathbf{Set}^{\mathcal{C}^{\mathrm{op}}}$ を 前層の圏(category of preshaves) といい、 $\hat{\mathcal{C}}$ や $\mathbf{PSh}(\mathcal{C})$ と書く。

$\mathcal{C}$ の対象 $a$ を、 定数関手 $a: \mathcal{J}\rightarrow\mathcal{C}$ に移し、射 $f$ を全てのコンポーネントが $f$ である自然変換に移す対応は関手 $$ \Delta: \mathcal{C}\rightarrow \mathcal{C}^{\mathcal{J}}$$ である。これを 対角関手(diagonal functor) という。

圏 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ が 同型(isomorphic) であるとは関手 $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ と $G:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{C}$ で $$ GF = 1_{\mathcal{C}},\ FG=1_{\mathcal{D}}$$ を満たすものが存在する事である。この時 $\mathcal{C}\cong\mathcal{D}$ と書く。

圏 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ が 同値(equivalent) であるとは関手 $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ と $G:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{C}$ で自然同型 $$ GF \cong 1_{\mathcal{C}},\ FG \cong 1_{\mathcal{D}}$$ を満たすものが存在する事である。$F,G$ を 圏同値(equivalence of categories) という。この時 $\mathcal{C}\simeq\mathcal{D}$ と書く。

選択公理を仮定すると、関手 $F$ が圏同値であることと $F$ が充満忠実かつ本質的に全射であることは同値

圏 $\mathcal{C}$ の 終対象(terminal object) とは、任意の対象 $x\in\mathcal{C}$ に対して射 $x\rightarrow 1$ が唯一つ存在するような対象 $1\in\mathcal{C}$ の事である。

$$\xymatrix{ x \ar@{.>}[r]^{\exists!} & 1 }$$

終対象の双対概念を 始対象(initial object) という。すなわち、任意の対象 $x\in\mathcal{C}$ に対して射 $0\rightarrow x$ が唯一つ存在するような対象 $0\in\mathcal{C}$ の事である。

$$\xymatrix{ 0 \ar@{.>}[r]^{\exists!} & x }$$

これら唯一の射を $!$ や $!_x$ などと書く。

始対象・終対象は同型を除いて一意に定まる。

圏 $\mathcal{C}$ の対象 $a,b$ に対する 積(product) とは、 $a\times b$ と書かれるある対象 $a\times b\in\mathcal{C}$ および射 $\pi_a: a\times b\rightarrow a, \pi_b: a\times b\rightarrow b$ の組であって、 任意の対象 $x$ と射 $f:x\rightarrow a, g:x\rightarrow b$ に対して、以下の図式が可換となるような射 $u: x\rightarrow a\times b$ が唯一つ存在するものである。

$$\xymatrix{ & x \ar[ld]_{f} \ar[rd]^{g} \ar@{.>}[d]^{\exists! u} &\\ a & a\times b \ar[l]_{\pi_a} \ar[r]^{\pi_b} & b }$$ この $u$ を $\langle f, g\rangle$ とも書く。また、 $f:a\rightarrow b, g:c\rightarrow d$ に対して $a\times c, b\times d$ が存在するならば $u=\langle f\circ\pi_a, g\circ\pi_c\rangle$が存在するがこれを $f\times g$ と書く。 $$\xymatrix{ & a\times c \ar[ld]_{f\circ\pi_a} \ar[rd]^{g\circ\pi_c} \ar@{.>}[d]^{f\times g} &\\ b & b\times d \ar[l]_{\pi_c} \ar[r]^{\pi_d} & d }$$

$\mathbf{Set}$ における積は直積集合(もしくはそれと同型な集合)である。

圏 $\mathcal{C}$ の対象 $a,b$ に対する 余積(coproduct) とは、 $a+b$ と書かれるある対象 $a+b\in\mathcal{C}$ および射 $i_a: a\rightarrow a+b, i_b: b\rightarrow a+b$ の組であって、 任意の対象 $x$ と射 $f:a\rightarrow x, g:b\rightarrow x$ に対して、以下の図式が可換となるような射 $u: a+b\rightarrow x$ が唯一つ存在するものである。

$$\xymatrix{ & x \ar@{<-}[ld]_{f} \ar@{<-}[rd]^{g} \ar@{<.}[d]^{\exists! u} &\\ a & a+b \ar@{<-}[l]_{i_a} \ar@{<-}[r]^{i_b} & b }$$ この $u$ を $[f, g]$ とも書く。また $f:a\rightarrow b, g:c\rightarrow d$ に対する $f+g: a+c\rightarrow b+d$ も積と同様に定義される。

$\mathbf{Set}$ における余積は直和集合である。

図式 $F:\mathcal{J}\rightarrow\mathcal{C}$ と対象 $x\in\mathcal{C}$ について、自然変換 $\phi:x\rightarrow F$ を $x$ から $F$ への 錐(cone) という。 同様に、自然変換 $\phi:F\rightarrow x$ を $F$ から $x$ への錐 もしくは 余錐(cocone) という。

(ここでは $x$ という記号を対象 $x\in \mathcal{C}$ と定数関手 $x:\mathcal{J}\rightarrow\mathcal{C}$ の両方に用いているが、混乱の恐れがある場合には対角関手を用いて $\phi:\Delta(x)\rightarrow F$ と表せばよい。)

図式 $F:\mathcal{J}\rightarrow\mathcal{C}$ への錐を対象とし、2つの錐 $\phi:x\rightarrow F$ と $\psi:y\rightarrow F$ の間の射を、以下が可換となるような自然変換 $f:x\rightarrow y$ (これは射 $f:x\rightarrow y$ と同一) によって定めると圏となる。これを $F$ への錐の圏(category of cones to $F$) という。 $$\xymatrix{ x \ar[r]^f \ar[d]_{\phi} & y \ar[ld]^{\psi} \\ F & \\ }$$

この双対概念を $F$ からの錐の圏(category of cones from $F$) という。

$F:\mathcal{J}\rightarrow\mathcal{C}$ への錐の圏の終対象の頂点を $\varprojlim F$ と書き、錐 $\phi:\varprojlim F\rightarrow F$ を$F$の 極限(limit) もしくは 射影的極限(projective limit) という。また $\phi$ を 標準射影(canonical projection) という。

$F:\mathcal{J}\rightarrow\mathcal{C}$ からの錐の圏の始対象の頂点を $\varinjlim F$ と書き、 $\psi: F\rightarrow \varinjlim F$ を$F$の 余極限(colimit) もしくは 帰納的極限(inductive limit) という。また $\psi$ を 標準入射(canonical inclusion) という。

$\displaystyle\varprojlim F,\displaystyle\varinjlim F$ の代わりに、$\displaystyle \varprojlim_{i\in\mathcal{J}}F(i),\displaystyle \varinjlim_{i\in\mathcal{J}}F(i)$ とも書く。

$\mathcal{J}$ が離散圏の時の極限を 積(product) 、余極限を 余積(coproduct) という。関手 $\mathcal{J}\rightarrow\mathcal{C}$ は $\mathcal{C}$ の対象の集合 $\{a_i\}_{i\in\mathcal{J}}$ と同一視できるので、このとき積・余積を次のように書く。 $$ \prod_{i\in\mathcal{J}} a_i,\quad\coprod_{i\in\mathcal{J}} a_i$$ $\mathcal{J}$ が有限集合の時は 有限積(finite product)、有限余積(finite coproduct) ともいい、 $$ a_1\times a_2\times\cdots a_n,\quad a_1+a_2+\cdots+a_n$$ のようにも書く。

$\mathcal{J}$ が $\bullet\rightrightarrows\bullet$ という形の時の極限を イコライザ(equalizer)、余極限を コイコライザ(coequalizer) という。並行射 $f,g$ についてのイコライザを $\mathrm{eq}(f,g)$、コイコライザを $\mathrm{coeq}(f,g)$ と書く。

$$ \xymatrix { \mathrm{eq}(f, g) \ar[r] & a \ar@<+2pt>[r]^{f} \ar@<-2pt>[r]_{g} & b && a \ar@<+2pt>[r]^{f} \ar@<-2pt>[r]_{g} & b \ar[r] & \mathrm{coeq}(f,g) }$$

$\mathcal{J}$ が $\bullet\rightarrow\bullet\leftarrow\bullet$ という形の時の極限を 引き戻し(pullback) という。 図式が $a\rightarrow c\leftarrow b$ であるときの引き戻しを$ a\times_{c} b $ と書く。

同様に、$\bullet\leftarrow\bullet\rightarrow\bullet$ という形の時の余極限を 押し出し(pushout) といい、図式が $a\leftarrow c\rightarrow b$ であるときの押し出しを $ a+_{c} b $ と書く。

$$ \xymatrix { a\times_{c} b \ar[r] \ar[d] & b \ar[d] && a+_{c} b & b \ar[l] \\ a \ar[r] & c && a \ar[u] & c \ar[l] \ar[u] }$$

圏 $\mathcal{C}$ が任意の小さな圏 $J$ について、任意の図式 $\mathcal{J}\rightarrow\mathcal{C}$ の極限を持つならば $\mathcal{C}$ は 完備(complete) であるという。余極限を持つならば 余完備(cocomplete) であるという。また、完備かつ余完備であることを 双完備(bicomplete) という。

また、任意の有限の圏(対象の集合、射の集合が共に有限集合である圏)$J$ について、極限を持つならば 有限完備(finite complete)、余極限を持つならば 有限余完備(finite cocomplete) という。

$\mathcal{C}$ が任意の並行射に対するイコライザと、圏 $\mathcal{J}$ の対象や射で添字付けられた任意の積を持つとする。この時、図式 $F:\mathcal{J}\rightarrow\mathcal{C}$ の極限は $$ s, t: \prod_{i\in\mathcal{J}}F(i)\rightrightarrows\prod_{f: i\rightarrow j\in\mathcal{J}}F(j) $$

$$ \begin{align*} s &= (F(f)\circ \pi_i)_{f:i\rightarrow j\in\mathcal{J}} \\ t &= (\pi_j)_{f:i\rightarrow j\in\mathcal{J}} \end{align*}$$ のイコライザである。ここで、$\pi_k:\prod_{i\in\mathcal{J}}F(i)\rightarrow F(k)$ は積の標準射影。

双対をとれば、余極限をコイコライザと余積によって表現する定理も同様に得られる。

$\mathbf{Set}$ は双完備である。

関手 $F: \mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ について、 $\mathcal{J}$ を小圏として任意の関手 $G:\mathcal{J}\rightarrow\mathcal{C}$ が極限を持つ時、 $F\circ G: \mathcal{J}\rightarrow\mathcal{D}$ も極限を持ち $$F(\varprojlim G) \cong \varprojlim F\circ G$$ が成立するならば、$F$ は 連続(continuous) であるという。 同様に $F$ が小さな余極限を保つ時は 余連続(cocontinuous) であるという。

図式 $F:\mathcal{J}\rightarrow\mathcal{D}^{\mathcal{C}}$ について $a\in \mathcal{C}$ に固定した関手 $F_{(-)}(a):\mathcal{J}\rightarrow\mathcal{D} $ の極限 $\displaystyle\varprojlim_{i\in\mathcal{J}} F_i(a)$ が全ての $a\in\mathcal{C}$ について存在するならば、$F$ の極限も存在し

$$ \left(\varprojlim_{i\in\mathcal{J}} F_i\right)(a) \cong \varprojlim_{i\in\mathcal{J}} F_i(a) $$

である。余極限についても同様。